Question

p：mx²+x+1=0至少有一个负根；q：2mx²+x+1=0无实根，若p∨q为真，p∧q为假，求：m的范围．

Answer 1

分析：分m=0，m＜0，m＞0三种情况讨论mx²+x+1=0至少有一个负根时m的范围，再求出2mx²+x+1=0无实根时m的范围，进而根据p∨q为真，p∧q为假，即p，q一真一假，再分别讨论p真q假和p假q真m的范围，综合讨论结果，可得答案．

解答：解：∵命题p：mx²+x+1=0至少有一个负根
m=0时，满足要求
m＜0时，△＞0恒成立，由韦达定理可得两根异号，满足要求
m＞0时，令△=1-4m≥0，即0＜m≤

1

4

，由韦达定理可得两根同为负，满足要求
综上命题p为真时，m≤

1

4

，
又∵命题q：2mx²+x+1=0无实根，则△=1-8m＜0，解得m＞

1

8

若p∨q为真，p∧q为假，则p，q一真一假
当p真q假时，m≤

1

8

，
当p假q真时，m≥

1

4

综上m的范围{m|m≤

1

8

，或m≥

1

4

}

点评：本题考查的知识点是复合命题的真假，其中分别求出命题p和命题q为真是m的范围是解答的关键．