Question

已知f（x）是R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=2^x，又a是函数g(x)=ln(x+1)-

2

x

的正零点，则f（-2），f（a），f（1.5）的大小关系是

 

．

Answer 1

分析：结合零点定理求得a与1.5和2的关系：1.5＜a＜2，然后利用求导确定函数f（x）的单调性，再有单调性使问题得到解决．

解答：解：当a＞0时，易知g（x）为增函数，而且g（2）=ln3-1＞0，g（1.5）=ln2.5-

4

3

＜lne-

4

3

＜0，
于是由零点存在定理可知在区间（1.5，2）内g（x）存在零点，
再由单调性结合题意可知a就为这个零点，因此有1.5＜a＜2．
又当x≥0时，直接求导即得f′（x）=2xln2，
于是当x＞1时，我们有f'（x）＞2ln2＞0，
由此可见f（x）在（1，+∞）上单调增，可见必有f（1.5）＜f（a）＜f（2），
而又由于f（x）为偶函数，
所以f（1.5）＜f（a）＜f（-2）．
故答案为f（1.5）＜f（a）＜f（-2）．

点评：本题考查的是函数的单调性与奇偶性的综合类问题．关键是利用函数的单调性来比较大小．