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    定义：若函数y=f（x）在某一区间D上任取两个实数x1、x2，且x1≠x2，都有
    f(x1)+f(x2)
    2
    ＞f(
    x1+x2
    2
    )    ，则称函数y=f（x）在区间D上具有性质L．
    （1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．
    （2）对于函数f(x)=x+
    1
    x
    ，判断其在区间（0，+∞）上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．
    （3）若函数f(x)=
    1
    x
    -ax2    在区间（0，1）上具有性质L，求实数a的取值范围．
    分析：（1）写出的函数是下凹的函数即可；
    （2）函数f(x)=x+
    1
    x
    在区间（0，+∞）上具有性质L．根据定义，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2
    只需要证明
    f(x1)+f(x2)
    2
    -f(
    x1+x2
    2
    )    ＞0即可；
    （3）任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2则
    f(x1)+f(x2)
    2
    -f(
    x1+x2
    2
    )    ＞0，只需要2-a•x1•x2（x1+x2）＞0在x1、x2∈（0，1）上恒成立，即a＜
    2
    x1•x2(x1+x2)
    ，故可求实数a的取值范围．
    解答：解：（1）y=log
    1
    2
    x    （或其它底在（0，1）上的对数函数）．…（2分）
    （2）函数f(x)=x+
    1
    x
    在区间（0，+∞）上具有性质L．…（4分）
    证明：任取x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2
    则
    f(x1)+f(x2)
    2
    -f(
    x1+x2
    2
    )    =
    1
    2
    (x1+
    1
    x1
    +x2+
    1
    x2
    )-(
    x1+x2
    2
    +
    2
    x1+x2
    )    =
    1
    2
    •
    x1+x2
    x1•x2
    -
    2
    x1+x2
    =
    (x1+x2)2-4x1•x2
    2x1•x2(x1+x2)
    =
    (x1-x2)2
    2x1•x2(x1+x2)

    ∵x1、x2∈（0，+∞）且x1≠x2，
    ∴（x1-x2）2＞0，2x1•x2（x1+x2）＞0
    即
    f(x1)+f(x2)
    2
    -f(
    x1+x2
    2
    )    ＞0，
    ∴
    f(x1)+f(x2)
    2
    ＞f(
    x1+x2
    2
    )
    所以函数f(x)=x+
    1
    x
    在区间（0，+∞）上具有性质L．…（8分）
    （3）任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2
    则
    f(x1)+f(x2)
    2
    -f(
    x1+x2
    2
    )    =
    1
    2
    (
    1
    x1
    -ax12+
    1
    x2
    -ax22)-(
    2
    x1+x2
    -a(
    x1+x2
    2
    )2)    =
    (x1-x2)2
    2x1•x2(x1+x2)
    -a•
    (x1-x2)2
    4
    =(x1-x2)2•
    [2-a•x1•x2(x1+x2)]
    4x1•x2(x1+x2)

    ∵x1、x2∈（0，1）且x1≠x2，
    ∴（x1-x2）2＞0，4x1•x2（x1+x2）＞0
    要使上式大于零，必须2-a•x1•x2（x1+x2）＞0在x1、x2∈（0，1）上恒成立，
    即a＜
    2
    x1•x2(x1+x2)
    ，
    ∴a≤1，
    即实数a的取值范围为（-∞，1]…（14分）
    点评：本题以函数为载体，考查新定义，考查恒成立问题，解题的关键是对新定义的理解，恒成立问题采用分离参数法．
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    （1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．
    （2）对于函数数学公式，判断其在区间（0，+∞）上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．
    （3）若函数数学公式在区间（0，1）上具有性质L，求实数a的取值范围．

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