【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 (a>b>0)的离心率为,长轴长为4.过椭圆的左顶点A作直线l,分别交椭圆和圆x2+y2=a2于相异两点P,Q.
(1)若直线l的斜率为,求的值;
(2)若,求实数λ的取值范围.
【答案】(1) (2)0<λ<1.
【解析】试题分析:
首先求得椭圆方程为,圆的方程为.
(1)法一:直线方程为,与椭圆方程联立可得,则,结合圆的性质可得,则.
法二:联立直线方程与椭圆方程可得: ,则.
(2)由题意可得,设直线l:y=k(x+2),与椭圆方程联立可得,据此可得: ,同理可得,则.
试题解析:
由题意得解得
所以椭圆的方程为+=1,圆的方程为x2+y2=4.
(1)法一 直线l的方程为y= (x+2),
由得3x3+4x-4=0.
解得xA=-2,xP=,所以P.
所以AP==.
又因为原点O到直线l的距离d==,
所以AQ=2=,所以==.
法二 由得3y2-4y=0,所以yP=.
由得5y2-8y=0,所以yQ=.
所以==×=.
(2)若=λ,则λ=-1,
设直线l:y=k(x+2),
由得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-4=0,
即(x+2)[(2k2+1)x+(4k2-2)]=0,
所以xA=-2,xP=,得P.
所以AP2==,
即AP=.同理可得AQ=.
所以λ=-1=1-.
由题意知k2>0,所以0<λ<1.
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【题目】如图,是的直径,PA垂直于所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一动点.
(1)证明:是直角三角形;
(2)若,且当直线与平面所成角的正切值为时,求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了场比赛,他们所有比赛得分的情况如下:
甲:;
乙: .
(1)求甲、乙两名运动员得分的中位数.
(2)分别求甲、乙两名运动员得分的平均数、方差,你认为哪位运动员的成绩更稳定?
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【题目】某大学进行自主招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示:
得出下面四个结论:
①甲同学的逻辑排名比乙同学的逻辑排名更靠前
②乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
③甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前
④甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前
则所有正确结论的序号是_________.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,中心在原点的椭圆C的上焦点为,离心率等于.
求椭圆C的方程;
设过且不垂直于坐标轴的动直线l交椭圆C于A、B两点,问:线段OF上是否存在一点D,使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形?作出判断并证明.
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【题目】设甲、乙两位同学上学期间,每天之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)设甲同学上学期间的三天中之前到校的天数为,求,,,时的概率,,,;
(2)设为事件“上学期间的三天中,甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多”,求事件发生的概率.
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【题目】已知向量
(1)若分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次,第二次出现的点数,求满足的概率;
(2)若在连续区间[1,6]上取值,求满足的概率.
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