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设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数K,定义函数fk(x)=
f(x),f(x)≥K
K,f(x)<K
,取函数f(x)=2+x+e-x.若对任意的x∈(+∞,-∞),恒有fk(x)=f(x),则(  )
分析:由已知条件可得k≤f(x)min,用导数确定函数函数的单调性,求解函数的最值,进而求出k的范围,进一步得出所要的结果.
解答:解:由题意可得出k≤f(x)min
由于f′(x)=1-e-x,令f′(x)=0,e-x=1=e0解出x=0,
当x>0时,f′(x)>0,f(x)单调递减,
当x<0时,f′(x)<0,f(x)单调递增.
故当x=0时,f(x)取到最小值f(0)=2+1=3.
故当k≤3时,恒有fk(x)=f(x)
因此k的最大值为3.
故选C.
点评:本题考查学生对新定义型问题的理解和掌握程度,理解好新定义的分段函数是解决本题的关键,将所求解的问题转化为求解函数的最值问题,利用了导数的工具作用,体现了恒成立问题的解题思想.
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设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数K,定义函数 fk(x)=
f(x),f(x)≤K
K,f(x)>K
,取函数f(x)=2-x-e-x.若对任意的x∈(+∞,-∞),恒有fk(x)=f(x),则(  )
A、K的最大值为2
B、K的最小值为2
C、K的最大值为1
D、K的最小值为1

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f(x)
1
f(x)
f(x)≤K
 
f(x)>K
,取函数f(x)=(
1
2
)|x|
,当K=
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2
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