Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，AB=AA₁=2

2

，点D是AB的中点，点E是BB₁的中点．
（1）求证：A₁B⊥平面CDE；
（2）求二面角D-CE-A₁的大小．

Answer 1

分析：（1）欲证A₁B⊥平面CDE，只需证明A₁B垂直平面CDE内两条相交直线即可，而A₁B⊥DE，CD⊥A₁B，CD∩DE=D，CD，DE?面CDE，满足线面垂直的判定定理，结论得证；
（2）由题意，∠ACB=90°，以C 为坐标原点，CA，CB，CC₁，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，进而可求平面的法向量，从而利用数量积公式可求．

解答：证明：（1）∵AA₁⊥底面ABC，CD?面ABC
∴AA₁⊥CD
∵AC=BC，点D是AB的中点
∴AB⊥CD
∵AA₁∩AB=A，AA₁，AB?面A₁ABB₁∴CD⊥面A₁ABB₁
∵A₁B?面A₁ABB₁
∴CD⊥A₁B
∵正方形A₁ABB₁中，DE∥AB₁，A₁B⊥AB₁
∴A₁B⊥DE
∵CD∩DE=D，CD，DE?面CDE
∴A₁B⊥面CDE
（2）由题意，∠ACB=90°
以C 为坐标原点，CA，CB，CC₁，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则
C（0.0，0），A₁（2，0，2

2

），E（0，2，

2

），D（1，1，0）
∴

CE

=(0，2，

2

)，

CA1

=(2，0，2

2

)，

CD

=(1，1，0)
∴平面的法向量分别为（2，1，-

2

），（2，-2，-

2

），
∴cosα=

4

2 15

=

2 15

15

∴二面角D-CE-A₁的大小 arccos

2 15

15

点评：本题以直三棱柱为载体，考查线面垂直的判定定理，考查面面角，同时考查了计算能力和论证推理能力，属于中档题．