Question

【题目】已知函数f（x）=ax﹣e（x+1）lna﹣ （a＞0，且a≠1），e为自然对数的底数．
（1）当a=e时，求函数y=f（x）在区间x∈[0，2]上的最大值
（2）若函数f（x）只有一个零点，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=e时，f（x）=ex﹣e（x+1）lne﹣ =ex﹣e（x+1）﹣ ，

∴f′（x）=ex﹣e，

令f′（x）=0，解得x=1，

当x∈[0，1]时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

∵f（0）=1﹣e﹣ ，f（2）=e2﹣3e﹣ ，

∴f（2）﹣f（0）=e2﹣3e﹣ ﹣1+e+ =e2﹣2e﹣1＞0，

∴函数y=f（x）在区间x∈[0，2]上的最大值为e2﹣3e﹣

（2）解：f′（x）=axlna﹣elna=lna（ax﹣e），

当0＜a＜1时，由f′（x）=axlna﹣elna=lna（ax﹣e）＜0，得ax﹣e＞0，即x ．

由f′（x）=axlna﹣elna=lna（ax﹣e）＞0，得ax﹣e＜0，即x ．

∴f（x）在（﹣∞， ）上为减函数，在（ ，+∞）上为增函数，

∴当x= 时函数取得最小值为f（ ）= = ．

要使函数f（x）只有一个零点，则 ，得a= ；

当a＞1时，由f′（x）=axlna﹣elna=lna（ax﹣e）＜0，得ax﹣e＜0，即x ．

由f′（x）=axlna﹣elna=lna（ax﹣e）＞0，得ax﹣e＞0，即x ．

∴f（x）在（﹣∞， ）上为减函数，在（ ，+∞）上为增函数，

∴当x= 时函数取得最小值为f（ ）= = ．

要使函数f（x）只有一个零点，则 ，得a= （舍）．

综上，若函数f（x）只有一个零点，则a=

【解析】（1）把a=e代入函数解析式，求出导函数的零点，可得原函数在[0，1]上单调递减，在（1，2]上单调递增，结合f（2）﹣f（0）＞0，可得函数y=f（x）在区间x∈[0，2]上的最大值；（2）求出原函数的导函数，分0＜a＜1和a＞1求得原函数的最小值，由最小值等于0求得a值．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．