Question

在棱长AB=AD=2，AA₁=3的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是平面BCC₁B₁上的动点，点F是CD的中点．试确定点E的位置，使D₁E⊥平面AB₁F．

Answer 1

分析：分别以AB、AD、AA₁为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图所示．可得A、B₁、D₁、F各点的坐标，设E（2，y，z），得出向量

AF

、

AB 1

和

D1E

的坐标．若D₁E⊥平面AB₁F，则D₁E⊥AB₁且D₁E⊥AF，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出y=1且z=

5

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，得E（2，1，

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3

），因此可得存在平面BCC₁B₁上的动点E，当E到BB₁和BC的距离分别为1、

5

3

时，可使D₁E⊥平面AB₁F．

解答：解：分别以AB、AD、AA₁为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示
可得A（0，0，0），B₁（2，0，3），D₁（0，2，3），F（1，2，0）
设E（2，y，z），则

AF

=(1，2，0)，

AB 1

=(2，0，3)，

D1E

=(2，y-2，z-3)
若D₁E⊥平面AB₁F，则D₁E⊥AB₁且D₁E⊥AF
∴

D1E • AF =2+2(y-2)=0 D1E • AB1 =4+3(z-3)=0

，解之得y=1，z=

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3

即E的坐标为（2，1，

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）时，D₁E⊥平面AB₁F．
因此，存在平面BCC₁B₁上的动点E，当E到BB₁的距离等于1且到BC的距离
等于

5

3

时，可使D₁E⊥平面AB₁F．

点评：本题在长方体中探索线面垂直垂直的问题，着重考查了长方体的性质、线面垂直的性质与判定和利用空间坐标系研究线面垂直等知识，属于中档题．