【题目】已知函数,其中
.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数存在两个极值点
,
,且
,证明:
.
【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.
【解析】分析:(1)对m分类讨论求函数的单调区间.(2)先求出
,再构造函数
,
,求它的范围.
详解:(1)函数定义域为
,且
,
,
令,
,
当,即
时,
,∴
在
上单调递减;
当,即
时,由
,解得
,
,
若,则
,∴
时,
,
单调递减;
时,
,
单调递增;
时,
,
单调递减;
若,则
,∴
时,
,
单调递减;
时,
,
单调递增;
综上所述:时,
的单调递减区间为
,单调递增区间为
;
时,
的单调递减区间为
,
,单调递增区间为
;
时,
的单调递减区间为
.
(2)因为函数定义域为
,且
,
∵函数存在两个极值点,∴
在
上有两个不等实根
,
,
记,则
∴
,
从而由且
,可得
,
,
∴
,
构造函数,
,
则,
记,
,则
,
令,得
(
,故舍去),
∴在
上单调递减,在
上单调递增,
又,
,
∴当时,恒有
,即
,
∴在
上单调递减,
∴,即
,
∴.
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【题目】以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2α﹣4cosα=0.已知直线l的参数方程为(
为参数),点M的直角坐标为
.
(1)求直线l和曲线C的普通方程;
(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求.
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【题目】某网站登录密码由四位数字组成,某同学将四个数字0,3,2,5,编排了一个顺序作为密码.由于长时间未登录该网站,他忘记了密码.若登录时随机输入由0,3,2,5组成的一个密码,则该同学不能顺利登录的概率是多少?
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【题目】已知椭圆:
,过
上一动点
作
轴,垂足为点
.当点
满足
时,点
的轨迹
恰是一个圆.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若与曲线切于
点的直线
与椭圆
交于
,
两点,且当
轴时,
,求
的最大面积.
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【题目】以直角坐标系的原点为极点,以
轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位,已知直线
的参数方程为
(
为参数,
),曲线
的极坐标方程为
.
(1)若,求直线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)设直线与曲线
相交于
,
两点,当
变化时,求
的最小值.
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【题目】某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,之后增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间
的关系,可选用
A.一次函数B.二次函数
C.指数型函数D.对数型函数
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