Question

如图，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，E，F分别是棱BC，B₁C₁上的动点，且EF∥CC₁，CD=DD₁=1，AB=2，BC=3．
（Ⅰ）证明：无论点E怎样运动，四边形EFD₁D都为矩形；
（Ⅱ）当EC=1时，求几何体A-EFD₁D的体积．

Answer 1

分析：（I）要证明无论点E怎样运动，四边形EFD₁D都为矩形，我们可根据已知中直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，E，F分别是棱BC，B₁C₁上的动点，且EF∥CC₁，先由线面平行的性质定理，判断出四边形EFD₁D为平行四边形，再证明其邻边相互垂直，进而得到答案．
（II）连接AE，我们易根据已知条件，结合直棱柱的几何特征和勾股定理，判断出AE到为四棱锥的高，根据CD=DD₁=1，AB=2，BC=3及EC=1，我们计算出四棱锥底面面积的和高，代入棱锥体积公式即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁∥CC₁，
∵EF∥CC₁，∴EF∥DD₁，（2分）
又∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，
平面ABCD∩平面EFD₁D=ED，
平面A₁B₁C₁D₁∩平面EFD₁D=FD₁，
∴ED∥FD₁，∴四边形EFD₁D为平行四边形，（4分）
∵侧棱DD₁⊥底面ABCD，又DE?平面ABCD内，
∴DD₁⊥DE，∴四边形EFD₁D为矩形；（5分）
（Ⅱ）证明：连接AE，∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁为直四棱柱，
∴侧棱DD₁⊥底面ABCD，又AE?平面ABCD内，
∴DD₁⊥AE，（6分）
在Rt△ABE中，AB=2，BE=2，则AE=2

2

；（7分）
在Rt△CDE中，EC=1，CD=1，则DE=

2

；（8分）
在直角梯形中ABCD，AD=

BC2+(AB-CD)2

=

10

；
∴AE²+DE²=AD²，即AE⊥ED，
又∵ED∩DD₁=D，∴AE⊥平面EFD₁D；（10分）
由（Ⅰ）可知，四边形EFD₁D为矩形，且DE=

2

，DD₁=1，
∴矩形EFD₁D的面积为SEFD1D=DE•DD1=

2

，
∴几何体A-EFD₁D的体积为VA-EFD1D=

1

3

SEFD1D•AE=

1

3

×

2

×2

2

=

4

3

．

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积公式及平面的基本性质及推论，其中求几何体A-EFD₁D的体积，关键是要找到棱锥的高，求出高和底面面积后，代入棱锥体积公式即可得到答案．