Question

设f（x）为定义在R上的增函数，令g（x）=f（x）-f（2008-x）
（1）求证：g（x）+g（2008-x）是定值．
（2）判断g（x）在R上的单调性；并证明．
（3）若g（x₁）+g（x₂）＞0，求证：x₁+x₂＞2008．

Answer 1

分析：（1）由g（x）=f（x）-f（2008-x），得g（2008-x）的解析式，从而计算g（x）+g（2008-x）的值．
（2）由函数的单调性定义可以判定和证明g（x）的单调性．
（3）由（1）得 g（x₁）+g（x₂）=g（x₁）-g（2008-x₂）＞0，得g（x₁）＞g（2008-x₂）；根据g（x）的单调性证得结论．

解答：解：（1）∵g（x）=f（x）-f（2008-x），
∴g（2008-x）=f（2008-x）-f（x），
∴g（x）+g（2008-x）=f（x）-f（2008-x）+f（2008-x）-f（x）=0，是定值．
（2）证明：在R上任取实数x₁＜x₂，
则g（x₁）-g（x₂）=f（x₁）-f（2008-x₁）-f（x₂）+f（2008-x₂）
=[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2008-x₂）-f（2008-x₁）]．
由题设知2008-x₂＜2008-x₁，又f（x）是R上的增函数，
∴f（x₁）＜f（x₂），f（2008-x₂）＜f（2008-x₁），
即g（x₁）-g（x₂）＜0，
∴g（x）在R上是单调递增函数．
（3）由（1）知 g（x）+g（2008-x）=0，
∴g（x₂）=-g（2008-x₂），
∴g（x₁）+g（x₂）=g（x₁）-g（2008-x₂）＞0，
即g（x₁）＞g（2008-x₂），
又g（x）在R上是单调递增函数，
∴x₁＞2008-x₂，
即 x₁+x₂＞2008．

点评：本题考查了函数单调性的判断与证明，以及函数与不等式的应用问题，是中档题．