设f(x)是定义在[a.b]上的函数.用分点T:a=x＜x1＜-＜xi-1＜xi＜-xn=b将区间[a.b]任意划分成n个小区间.如果存在一个常数M＞0.使得和≤M恒成立.则称f(x)为[a.b]上的有界变差函数．=x2在[0.1]上是否为有界变差函数?请说明理由,是[a.b]上的单调递减函数.证明:f(x)为[a.b]上的有界变差函数,(3)若定义在[a.b]上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

设f（x）是定义在[a，b]上的函数，用分点T：a=x＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…x_n=b将区间[a，b]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得和

≤M（i=1，2，…，n）恒成立，则称f（x）为[a，b]上的有界变差函数．
（1）函数f（x）=x²在[0，1]上是否为有界变差函数？请说明理由；
（2）设函数f（x）是[a，b]上的单调递减函数，证明：f（x）为[a，b]上的有界变差函数；
（3）若定义在[a，b]上的函数f（x）满足：存在常数k，使得对于任意的x₁、x₂∈[a，b]时，|f（x₁）-f（x₂）|≤k•|x₁-x₂|．证明：f（x）为[a，b]上的有界变差函数．

【答案】分析：（1）利用函数在[0，1]是增函数，去掉绝对值，将连和符号用函数值的和表示出，求出值为，取M大于等于此值，满足有界变差函数的定义
（2）利用函数为减函数，将连和符号中的绝对值符号去掉，将连和用函数值的差表示出，求出连和的值，将M取此值，满足有界变差函数的定义．
（3）利用已知不等式，将函数值差的连和表示成自变量差的连和，去掉绝对值，将连和写成自变量差的和形式，求出连和的值，找到M，满足有界变差函数的定义．
解答：解：（1）∵f（x）=x²在[0，1]上是增函数∴对任意划分Tf（x_n）＞f（x_n-1）
|f（x_i）-f（x_i-1）|=f（x₁）-f（x）+…+f（x_n）-f（x_n-1）=f（1）-f（0）=1
取常数M≥1，则和式

（i=1，2，3…n）恒成立
所以函数f（x）在[0，1]是有界变差函数
（2）∵函数f（x）是[a，b]上的单调递减函数
任意的划分T，Ta=x＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n=b
∴

+f（x_n）
∴一定存在一个常数M＞0，使f（a）-f（b）≤M
故f（x）为[a，b]上有界变差函数
∵|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|
∴对任意的划分T，a=x＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n=b

=k（b-a）
取常数M=k（b-a）
由有界变差函数定义知f（x）为有界变差函数．
点评：本题考查理解题中的新定义、判断一个函数是否是有界变差函数，关键是求出函数差的连和，找出M．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线x=

对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=

．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

例2．设f（x）是定义在[-3，

]上的函数，求下列函数的定义域（1）y=f(

-2)（2）y=f(

)(a≠0)

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，而当x∈[2，3]时，g（x）=-x²+4x-4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）对任意x₁，x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，求证：|f（x₂）-f（x₁）|＜2|x₂-x₁|；
（Ⅲ）对任意x₁，x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，求证：|f（x₂）-f（x₁）|≤1．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：