Question

（2011•重庆一模）已知椭圆E：

x2

8

+

y2

4

=1的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（Ⅲ）在平面上是否存在一点P，使得

GF

GP

=

1

2

？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题易知圆C的圆心为（-

a2

c

，0）而a=2

2

，b=2可求出圆心为（-4，0）又圆C恰好经过坐标原点O故半径为4所以圆C的方程为（x+4）²+y²=16
（2）可利用直线FG与直线l联立求出t点坐标再利用中点坐标公式求出G（-3，y_G）再代入圆C的方程求出y_G进而求出FG的方程为y=

+

.

15

（x+2），然后利用圆心到直线的距离公式求出C（-4，0）到FG的距离d=

15

2

再利用勾股定理即可求出弦长的一半进而求解．

（3）假设存在P（s，t），G（x₀，y₀）使得

GF

GP

=

1

2

成立利用两点间的距离公式化简可得方程3（x₀²+y₀²）+（16+2s）x₀+2ty₀+16-s²-t²=0再结G（x₀，y₀）在圆C即x₀²+y₀²+8x₀=o可得（2s-8）x₀+2ty₀+16-s²-t²=0对所有的x₀，y_0．成立
故2s-8=0，2t=0，16-s²-t²=0所以s=4，t=0即存在p（4，0）满足题意．

解答：解：（1）∵a=2

2

，b=2
∴c=2
∴左准线方程为x=-

a2

c

=-4
∴圆心为（-4，0）
∵圆C恰好经过坐标原点O故半径为4
∴圆C的方程为（x+4）²+y²=16
（2）由题意知，得G（-3，y_G），代入（x+4）²+y²=16，得y=

+

.

15

所以FG的斜率为K=y=

+

.

15

，FG的方程为y=

+

.

15

（x+2）
所以C（-4，0）到FG的距离d=

15

2

，直线FG被圆C截得弦长为2

16-( 15 2 )2

=7
故直线FG被圆C截得弦长为7．
（3）设P（s，t），G（x₀，y₀），则由

GF

GP

=

1

2

，得

(x0+2)2+y02

(x0-s)2+(y0-t)2

=

1

2

，
整理得3（x₀²+y₀²）+（16+2s）x₀+2ty₀+16-s²-t²=0①
又G（x₀，y₀）在圆C：（x+4）²+y²=16上，所以x₀²+y₀²+8x₀=o②

②代入①得（2s-8）x₀+2ty₀+16-s²-t²=0
又G（x₀，y₀）为圆C上任意一点可知，2s-8=0，2t=0，16-s²-t²=0解得s=4，t=0．
所以在平面上存在一点p，其坐标为（4，0）．

点评：此题第一问主要考查了利用椭圆的有关知识求圆的方程关键是要知道椭圆的左准线方程是x=-

a2

c

．第二问考查了利用圆心到直线的距离公式求出d再利用半径，d，弦长的一半构成直角三角形再采用勾股定理即可求解．对于第三问较难但思路较简单即假设存在P（s，t），G（x₀，y₀）使得

GF

GP

=

1

2

成立，关键是得出（2s-8）x₀+2ty₀+16-s²-t²=0后怎么办是难点！实质上这是恒成立的问题只需系数和常数项为0即可求出s，t．