Question

3．如图，两条异面直线a，b所成的角为θ，在直线a，b上分别取点A′，E和点A，F，使AA′⊥a，且AA′⊥b（AA′称为异面直线a，b的公垂线），已知A′E=m，AF=n，EF=l，求公垂线AA′的长．

Answer 1

分析 由题意，$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EA′}$+$\overrightarrow{A′A}$+$\overrightarrow{AF}$，两边平方，结合条件，即可求公垂线AA′的长．

解答 解：由题意，$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EA′}$+$\overrightarrow{A′A}$+$\overrightarrow{AF}$，
∴${\overrightarrow{EF}}^{2}$=$\overrightarrow{EA′}$²+$\overrightarrow{A′A}$²+$\overrightarrow{AF}$²+2$\overrightarrow{EA′}$•$\overrightarrow{A′A}$+2$\overrightarrow{AA′}$•$\overrightarrow{AF}$+2$\overrightarrow{EA′}$•$\overrightarrow{AF}$，
∴l²=m²+$\overrightarrow{A′A}$²+n²±2mncosθ，
∴|$\overrightarrow{A′A}$|=$\sqrt{{l}^{2}-{m}^{2}-{n}^{2}±2mncosθ}$．

点评 本题考查求公垂线AA′的长，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．