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设f(x)是定义在区间D上的函数,若对任何实数α∈(0,1)以及D中的任意两个实数x1,x2,恒有f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2),则称f(x)为定义在D上的C函数.
(Ⅰ)试判断函数是否为各自定义域上的C函数,并说明理由;
(Ⅱ)已知f(x)是R上的C函数,m是给定的正整数,设an=fn,n=0,1,2,…,m,且a=0,am=2m.记Sf=a1+a2+…+am对于满足条件的任意函数f(x),试求Sf的最大值;
(Ⅲ)若g(x)是定义域为R的函数,且最小正周期为T,试证明g(x)不是R上的C函数.
【答案】分析:(Ⅰ)f1(x)=x2是C函数,直接找f(αx1+(1-α)x2)-αf(x1)-(1-α)f(x2),推出其小于等于0即可; 不是C函数,采用举反例的方法即可,x1=-3,x2=-1,
(Ⅱ)先根据定义求出an=f(n)的范围,再结合定义即可求出Sf的最大值即可.
 (Ⅲ)假设g(x)是R上的C函数.若存在m<n且m,n∈[0,T]使得g(m)≠g(n).分g(m)<g(n),g(m)>g(n),利用反证法,可以证明g(x)不是R上的C函数.
解答:解:(Ⅰ):f1(x)=x2是C函数,证明如下:
对任意实数x1,x2及α∈(0,1),
有f(αx1+(1-α)x2)-αf(x1)-(1-α)f(x2)=(αx1+(1-α)x22-αx12-(1-α)x22=-α(1-α)x12-α(1-α)x22+2α(1-α)x1x2=-α(1-α)(x1-x22≤0.
即f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2).
∴f1(x)=x2是C函数.
不是C函数,证明如下:
取x1=-3,x2=-1,
则f(αx1+(1-α)x2)-αf(x1)-(1-α)f(x2)=
即f(αx1+(1-α)x2)>αf(x1)+(1-α)f(x2).
不是C函数.
(Ⅱ)对任意0≤n≤m,取x1=m,x2=0,
∵f(x)是R上的下凸函数,an=f(n),且a=0,am=2m
∴an=f(n)=f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2)=
那么Sf=a1+a2+…+am≤2×(1+2+…+m)=m2+m.
可证f(x)=2x是C函数,且使得an=2n(n=0,1,2,…,m)都成立,此时Sf=m2+m.
综上所述,Sf的最大值为m2+m.
(Ⅲ)假设g(x)是R上的C函数.
若存在m<n且m,n∈[0,T]使得g(m)≠g(n).
若g(m)<g(n),记,则0<α<1,且n=αx1+(1-α)x2
那么g(n)=g[αx1+(1-α)x2]≤αg(x1)+(1-α)g(x2)=g(m)
这与g(m)<g(n)矛盾.
若g(m)>g(n),
也可得到矛盾.
∴g(x)在[0,T]上是常数函数,又因为g(x)是周期为T的函数,所以g(x)在R上是常数函数,这与g(x)的最小正周期为T矛盾.
所以g(x)不是R上的C函数. (14分)
点评:本题主要是在新定义下考查恒成立问题.恒成立问题一般有两种情况,一是f(x)>a恒成立,只须比f(x)的最小值小即可,二是f(x)<a恒成立,只须比f(x)的最大值大即可.
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π
2
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