Question

（2013•怀化二模）在直角坐标平面内，y轴右侧的一动点P到点（

1

2

，0）的距离比它到y轴的距离大

1

2

．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q为曲线C上的一个动点，点B，C在y轴上，若△QBC为圆（x-1）²+y²=1的外切三角形，求△QBC面积的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用抛物线的定义，可求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设出Q，B，C的坐标，利用直线QB是圆的切线，进而可表示出△QBC面积，换元，利用基本不等式，即可求△QBC面积的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由题知点P到F(

1

2

，0)的距离与它到直线x=-

1

2

的距离相等，
所以点P的轨迹是抛物线，方程为y²=2x…（4分）
（Ⅱ）设Q（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），则QB：y-b=

y0-b

x0

x即（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0
由直线QB是圆的切线知

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，即(x0-2)b2+2y0b-x0=0
同理∵x0＞0，(x0-2)c2+2y0c-x0=0所以b，c是方程(x0-2)t2+2y0t-x0=0的两根
∴b+c=-

2y0

x0-2

，bc=-

x0

x0-2

…（8分）
∴S△QBC=

1

2

|b-c|x0=

1

2

4y02 (x0-2)2 + 4x0 x0-2

•x0
又y02=2x0，∴S△QBC=

x02

|x0-2|

由题知x₀＞2，∴S△QBC=

x02

x0-2

令t=x₀-2，则S△QBC=

(t+2)2

t

=t+

4

t

+4≥4+4=8，当t=2即x₀=4时，取“=”
∴△QBC面积的最小值为8…（12分）

点评：本题考查抛物线的定义与标准方程，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．