Question

（2011•徐汇区三模）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C1：

x2

4

+y2=1．
（1）若椭圆C2：

x2

16

+

y2

4

=1，判断C₂与C₁是否相似？如果相似，求出C₂与C₁的相似比；如果不相似，请说明理由；
（2）写出与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆C_b的方程；若在椭圆C_b上存在两点M、N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围？
（3）如图：直线l与两个“相似椭圆”

x2

a2

+

y2

b2

=1和

x2

a2

+

y2

b2

=λ2(a＞b＞0，0＜λ＜1)分别交于点A，B和点C，D，证明：|AC|=|BD|

Answer 1

分析：（1）分别求出特征三角形是腰长为a 和底边长为2c，从而得到椭圆的相似比．
（2）设出椭圆C_b的方程，直线l_MN的方程，根据两点关于直线对称的性质，求出直线l_MN的方程，根据直线l_MN与椭圆C_b有两个不同的交点，判别式大于零，求得实数b的取值范围．
（3）直线l与x轴垂直时，易得线段AB与CD的中点重合；直线l不与x轴垂直时，设出直线l的方程，联立直线方程与椭圆方程分别求出线段AB与CD的中点，得到中点坐标相同即可说明结论．

解答：解：（1）椭圆C₂与C₁相似．-------------------（2分）
因为椭圆C₂的特征三角形是腰长为4，底边长为4

3

的等腰三角形，而椭圆C₁的特征三角形是腰长为2，底边长为2

3

的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为2：1-------------------（4分）
（2）椭圆C_b的方程为：

x2

4b2

+

y2

b2

=1(b＞0)-------------------（6分）
设l_MN：y=-x+t，点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中点为（x₀，y₀），
则

y=-x+t x2 4b2 + y2 b2 =1

，所以5x²-8tx+4（t²-b²）=0-------------------（8分）
则x0=

x1+x2

2

=

4t

5

，y0=

t

5

-------------------（9分）
因为中点在直线y=x+1上，所以有

t

5

=

4t

5

+1，t=-

5

3

-------------------（10分）
即直线l_MN的方程为：lMN：y=-x-

5

3

，
由题意可知，直线l_MN与椭圆C_b有两个不同的交点，
即方程5x2-8(-

5

3

)x+4[(-

5

3

)2-b2]=0有两个不同的实数解，
所以△=(

40

3

)2-4×5×4×(

25

9

-b2)＞0，即b＞

5

3

-------------------（12分）
（3）证明：
①直线l与x轴垂直时，易得线段AB与CD的中点重合，所以|AC|=|BD|；-------------------（14分）
②直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为：y=kx+n，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
线段AB的中点（x₀，y₀），

y=kx+n x2 a2 + y2 b2 =1

⇒(b2+a2k2)x2+2a2knx+(a2n2-a2b2)=0-------（15分）⇒

x0= 1 2 (x1+x2)=- a2kn b2+a2k2 y0=kx0+n= nb2 b2+a2k2

⇒线段AB的中点为(-

a2kn

b2+a2k2

，

nb2

b2+a2k2

)----------（16分）
同理可得线段CD的中点为(-

a2kn

b2+a2k2

，

nb2

b2+a2k2

)，-------------------（17分）
即线段AB与CD的中点重合，所以|AC|=|BD|-------------------（18分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，两点关于直线对称的性质，求直线MN的方程是解决第二问的关键，而第三问的关键在于分析出：线段AB与CD的中点重合⇒|AC|=|BD|．