Question

（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式C_α+β：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；②由C_α+β推导两角和的正弦公式S_α+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．
（Ⅱ）已知△ABC的面积S=

1

2

，

AB

•

AC

=3，且cosB=

3

5

，求cosC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）①建立单位圆，在单位圆中作出角，找出相应的单位圆上的点的坐标，由两点间距离公式建立方程化简整理既得；②由诱导公式cos[

π

2

-（α+β）]=sin（α+β）变形整理可得．
（Ⅱ）S=

1

2

，

AB

•

AC

=3，求出角A的正弦，再由cosB=

3

5

，用cosC=-cos（A+B）求解即可．

解答：解：（Ⅰ）①如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与-β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P₁，
终边交⊙O于P₂；
角β的始边为OP₂，终边交⊙O于P₃；角-β的始边为OP₁，终边交⊙O于P₄．
则P₁（1，0），P₂（cosα，sinα）
P₃（cos（α+β），sin（α+β）），P₄（cos（-β），sin（-β））
由P₁P₃=P₂P₄及两点间的距离公式，得
[cos（α+β）-1]²+sin²（α+β）=[cos（-β）-cosα]²+[sin（-β）-sinα]²
展开并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ．（4分）
②由①易得cos（

π

2

-α）=sinα，sin（

π

2

-α）=cosα
sin（α+β）=cos[

π

2

-（α+β）]=cos[（

π

2

-α）+（-β）]
=cos（

π

2

-α）cos（-β）-sin（

π

2

-α）sin（-β）
=sinαcosβ+cosαsinβ（6分）
（Ⅱ）由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c
则S=

1

2

bcsinA=

1

2

AB

•

AC

=bccosA=3＞0
∴A∈（0，

π

2

），cosA=3sinA
又sin²A+cos²A=1，∴sinA=

10

10

，cosA=

3 10

10

由题意，cosB=

3

5

，得sinB=

4

5

∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=

10

10

故cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-

10

10

（12分）

点评：本小题主要考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力．