(1)求抛物线的方程.
(2)若·=0,求证:直线AB过定点.
(3)若直线AB恒过定点M(6,0),求∠AOB的最小值.
答案:(1)解:∵P(2,2)在抛物线y2=2px上,∴4=2p·2.∴2p=2.∴抛物线方程为y2=2x.
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则·=x1x2+y1y2且y12=2x1,y22=2x2.
∵·=0,∴·+y1y2=0.∴y1y2(y1y2+4)=0.∵y1y2≠0,∴y1y2=-4.
kAB=.∴直线AB的方程为y-y1=(x-x1),
即(y1+y2)y-y12-y1y2=2x-2x1.又y12=2x1,y1y2=-4,∴(y1+y2)y=2(x-2).∴直线AB过定点(2,0).
(3)解:kOA==,kOB=,不妨设y1>0,y2<0.
则∠AOB为直线OB到OA的角,∴tan∠AOB=.
∵直线AB过点M(6,0),∴设直线AB的方程为x=ay+6,代入y2=2x,
得y2-2ay-12=0,得y1y2=-12.10分tan∠AOB=(y1+)≥·2=3(当且仅当y1=y2=2,取等号),∴∠AOB的最小值为.
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