Question

(本题满分14分) 设等差数列{a_n}的首项a₁为a，公差d＝2，
前n项和为S_n．
(Ⅰ) 若S₁，S₂，S₄成等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
(Ⅱ) 证明：n∈N*, S_n，S_n＋1，S_n＋2不构成等比数列．

Answer 1

(Ⅰ)解：因为S_n＝na＋n (n－1)，
S₁＝a，S₂＝2a＋2，S₄＝4a＋12．由于S₁，S₂，S₄成等比数列，因此
＝S₁S₄，即得a＝1．a_n＝2n－1．              
(Ⅱ)证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个m∈N*，S_m，S_m＋1，S_m＋2构成等比数列，即．因此
a²＋2ma＋2m(m＋1)＝0，     
要使数列{a_n}的首项a存在，上式中的Δ≥0．然而
Δ＝(2m)²－8m(m＋1)＝－4m (2＋m)＜0，矛盾．
所以，对任意正整数n，S_n，S_n＋1，S_n＋2都不构成等比数列

略