Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面AA₁B₁B是边长为5的正方形，AB⊥BC，AC与BC₁成60°角，则AC长为________．

Answer 1

分析：根据题意要求AC长需求出BC长故可设BC=a又AC与BC₁成60°角可连接BA₁，BC₁则∠A₁C₁B=60°而根据直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面AA₁B₁B是边长为5的正方形可得出△BA₁C₁为等边三角形故BA₁=BC₁即可求出a再借助AB⊥BC即可求出AC长．
解答：
解：设BC=a连接BA₁，BC₁
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱且侧面AA₁B₁B是边长为5的正方形
∴AB=CC₁=5
∴A₁B²=50，BC₁²=25+a²
∴△BA₁C₁为等腰三角形
∵AB⊥BC
∴AC²=25+a²
∵AC与BC₁成60°角且AC∥A₁C₁
∴∠A₁C₁B=60°
∴△BA₁C₁为等边三角形
∴50=25+a²
∴a=5
∴AC=
故答案为5
点评：本题主要考查了空间中距离的计算．解题的关键是首先要理解直三棱柱的有关概念求出A₁B²=50，BC₁²=25+a²然后利用异面直线AC与BC₁成60°角得出∠A₁C₁B=60°即△BA₁C₁为等边三角形再利用边相等求出a从而求出AC长！