【题目】已知函数.
(1)当时,证明:;
(2)若在有且只有一个零点,求的范围.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)构造函数,利用导数可得其最小值大于等于,进而得证;
(2)构造函数,,,,则函数与的图象在上有且仅有一个交点,分类讨论即可得出结论.
(1)当时,,
令,则,
当时,,当时,,
所以,函数的单调递减区间为,单调递增区间为.
所以,函数在处取得极小值,亦即最小值,即,
故,即,即得证;
(2)依题意,方程在上只有一个解,
记,,,,则函数与的图象在上有且仅有一个交点,
又在上恒成立,故函数在上单调递增,
(i)当时,函数在单调递增,在单调递减,
且,,,如图,
显然,此时满足函数与的图象在上有且仅有一个交点,符合题意;
(ii)当时,,显然在上有且仅有一个零点,符合题意;
(iii)当时,函数在单调递减,在单调递增,且,,,如图,
要使函数与的图象在上有且仅有一个交点,只需,即,即,又,故.
综上,实数的取值范围为.
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【题目】已知是抛物线的焦点,是抛物线上一点过三点的圆的圆心为,点到抛物线的准线的距离为.
(1)求抛物线的方程;
(2)若点的横坐标为4,过的直线与抛物线有两个不同的交点,直线与圆交于点,且点的横坐标大于4,求当取得最小值时直线的方程.
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【题目】某学校为了解该校高三年级学生数学科学习情况,对一模考试数学成绩进行分析,从中抽取了名学生的成绩作为样本进行统计,该校全体学生的成绩均在,按照,,,,,,,的分组作出频率分布直方图如图(1)所示,样本中分数在内的所有数据的茎叶图如图(2)所示.根据上级统计划出预录分数线,有下列分数与可能被录取院校层次对照表为表(3).
分数 | |||
可能被录取院校层次 | 专科 | 本科 | 重本 |
图(3)
(1)求和频率分布直方图中的,的值;
(2)根据样本估计总体的思想,以事件发生的频率作为概率,若在该校高三年级学生中任取3人,求至少有一人是可能录取为重本层次院校的概率;
(3)在选取的样本中,从可能录取为重本和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研,用表示所抽取的3名学生中为重本的人数,求随机变量的分布列和数学期望.
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【题目】已知抛物线:和直线:,是直线上一点,过点做抛物线的两条切线,切点分别为,,是抛物线上异于,的任一点,抛物线在处的切线与,分别交于,,则外接圆面积的最小值为______.
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【题目】已知椭圆:的左顶点为,右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于,两点,且,其中为坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设过点且与直线平行的直线与椭圆交于,两点,若点满足,且与椭圆的另一个交点为,求的值.
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【题目】生男生女都一样,女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想,头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿,现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中,头胎为女孩的频率为0.5,生二孩的频率为0.525,其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.
(1)完成下列列联表,并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关;
生二孩 | 不生二孩 | 合计 | |
头胎为女孩 | 60 | ||
头胎为男孩 | |||
合计 | 200 |
(2)在抽取的200户家庭的样本中,按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户,进一步了解情况,在抽取的7户中再随机抽取4户,求抽到的头胎是女孩的家庭户数的分布列及数学期望.
附:
0.15 | 0.05 | 0.01 | 0.001 | |
2.072 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(其中).
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