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    （2005•静安区一模）已知等差数列{an}的首项为p，公差为d（d＞0）．对于不同的自然数n，直线x=an与x轴和指数函数f(x)=(
    12
    )x    的图象分别交于点An与Bn（如图所示），记Bn的坐标为（an，bn），直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面积分别为s1和s2，一般地记直角梯形AnAn+1Bn+1Bn的面积为sn．
    （1）求证数列{sn}是公比绝对值小于1的等比数列；
    （2）设{an}的公差d=1，是否存在这样的正整数n，构成以bn，bn+1，bn+2为边长的三角形？并请说明理由；
    （3）（理）设{an}的公差d（d＞0）为已知常数，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{sn}各项的和S＞2010？并请说明理由．
    （4）（文）设{an}的公差d=1，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{sn}各项的和S＞2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由．
    分析：（1））an=p+（n-1）d，直角梯形AnAn+1Bn+1Bn的两底长度AnBn=f（an），An+1Bn+1=f（an+1）．高为AnAn+1 =d，利用梯形面积公式表示出sn．利用等比数列定义进行证明即可．
    （2）an=-1+（n-1）=n-2，bn=(
    1
    2
    )n-2    ，以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，则bn+2+bn+1＞bn考查次不等式解的情况作解答．
    （3）利用无穷等比数列求和公式，将S＞2010 化简为S=
    d(2d+1)
    2p+1(2d-1)
    ＞2010，则2p＜
    d(2d+1)
    2×2010×(2d-1)
    探讨p的存在性．
    （4）利用无穷等比数列求和公式，将S＞2010 化简为 S=
    3
    2p+1
    ＞2010    ，探讨p的存在性．
    解答：解：（1）an=p+（n-1）d，bn=(
    1
    2
    )p+(n-1)d    （2分）sn=
    d
    2
    [(
    1
    2
    )p+(n-1)d+(
    1
    2
    )p+nd]=
    d
    2
    •(
    1
    2
    )p•[(
    1
    2
    )(n-1)d+(
    1
    2
    )nd]    ，
    对于任意自然数n，
    sn+1
    sn
    =
    (
    1
    2
    )    nd    +(
    1
    2
    )    (n+1)d
    (
    1
    2
    )    (n-1)d    +(
    1
    2
    )    nd
    =
    1+(
    1
    2
    )    d
    2d+1
    =(
    1
    2
    )d    ，
    所以数列{sn}是等比数列且公比q=(
    1
    2
    )d    ，
    因为d＞0，所以|q|＜1（4分）
    （写成sn=
    d
    2
    [(
    1
    2
    )a1+nd+(
    1
    2
    )a1+(n-1)d]=d•(1+2d)•(
    1
    2
    )a1+1•(
    1
    2
    )nd    ，得公比q=(
    1
    2
    )d    也可）
    （2）an=-1+（n-1）=n-2，bn=(
    1
    2
    )n-2    ，
    对每个正整数n，bn＞bn+1＞bn+2（6分）
    若以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，
    则bn+2+bn+1＞bn，即(
    1
    2
    )n+(
    1
    2
    )n-1＞(
    1
    2
    )n-2    ，1+2＞4，
    这是不可能的         （9分）
    所以对每一个正整数n，以bn，bn+1，bn+2为边长不能构成三角形            （10分）
    （3）（理）由（1）知，0＜q＜1，s1=
    d(1+2d)
    2p+1•2d
    （11分）
    所以S=
    s1
    1-q
    =
    d(2d+1)
    2p+1(2d-1)
    （14分）
    若S=
    d(2d+1)
    2p+1(2d-1)
    ＞2010，则2p＜
    d(2d+1)
    2×2010×(2d-1)
    （16分）
    两边取对数，知只要a1=p取值为小于log2
    d(2d+1)
    2×2010×(2d-1)
    的实数，就有S＞2010（18分）
    说明：如果分别给出a1与d的具体值，说明清楚问题，也参照前面的评分标准酌情给分，但不得超过该部分分值的一半．
    （4）（文）s1=
    3
    22+p
    ，q=
    1
    2
    （11分）
    所以S=
    s1
    1-q
    =
    3
    2p+1
    （14分）
    如果存在p使得S=
    3
    2p+1
    ＞2010    ，即2p＜
    3
    4020
    =
    1
    1340
    （16分）
    两边取对数得：p＜-log21340，
    因此符合条件的p值存在，log21340≈10.4，可取p=-11等               （18分）
    说明：通过具体的p值，验证S=
    3
    2p+1
    ＞2010    也可．
    点评：本题是函数与数列、不等式的结合．考查等比数列的判定，含参数不等式解的讨论．考查分析解决问题，计算，逻辑思维等能力．
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    3x
    3x
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    1
    1
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    		5
    sin(θ+?)(-
    π
    2
    ＜?＜
    π
    2
    )    ，则?=
    arccos
    		5
    5
    ，或(arctan2)
    arccos
    		5
    5
    ，或(arctan2)
    ．（用反三角函数表示）

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    arccos
    1
    4
    arccos
    1
    4
    （用反三角函数表示）．

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