Question

（2013•石家庄二模）在平面直角坐标系中，已知点F（0，1），直线l：y=-1，P为平面内动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且

QF

•(

QP

+

FP

)=0．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点M（0，m）（m＞0）的直线AB与曲线E交于A、B两个不同点，设∠AFB=θ，若对于所有这样的直线AB，都有θ∈（

π

2

，π]．求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出懂点P的坐标，由题意得到Q的坐标，写出向量

QF

，

QP

，

FP

的坐标，代入

QF

•(

QP

+

FP

)=0整理即可得到动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）把∠AFB=θ转化为两个向量

FA

，

FB

所成的角，由θ∈（

π

2

，π]得到两个向量的数量积小于0，代入坐标后整理得到m²-6m+1＜4k²，根据k是实数转化为关于m的不等式，从而求出m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），则Q（x，-1），又F（0，1）．
则

QF

=(-x，2)，

QP

=(0，y+1)，

FP

=(x，y+1)．
由

QF

•(

QP

+

FP

)=0．
得x²=4y．
∴动点P的轨迹曲线E的方程为x²=4y；
（Ⅱ）由题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由题意cosθ=

FA • FB

| FA |•| FB |

＜0，
即

FA

•

FB

＜0．又

FA

=(x1，y1-1)，

FB

=(x2，y2-1)
∴

FA

•

FB

=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1＜0．
由

y=kx+m x2=4y

消去y得x的方程x²-4kx-4m=0．
则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，
y1+y2=k(x1+x2)+2m=4k2+2m，y1y2=

1

16

(x1x2)2=m2，
∴

FA

•

FB

=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4m+m²-4k²-2m+1＜0
即m²-6m+1＜4k²对k∈R恒成立．∴m²-6m+1＜0．
解得3-2

2

＜m＜3+2

2

．

点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了数学转化思想方法，解答的关键是由∠AFB为钝角转化为关于m的不等式，是有一定难度题目．