Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥ABC，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点，
（I）求证：AC⊥BC₁；
（II）求证：AC₁∥面CDB₁．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用三垂线定理证明AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，即可证明AC⊥BC₁；
（II）设CB₁与C₁B的交点为E，连接DE，证明DE∥AC₁，然后证明AC₁∥平面CDB₁．
解答：证明：（ I）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC₁；…（6分）
（ II）设CB₁与C₁B的交点为E，连接DE，
∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，∴DE∥AC₁，
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁；…（6分）
点评：本题是中档题，考查几何体中直线与直线的垂直，直线与平面平行的证明，考查三垂线定理与直线与平面平行的判断定理的应用．