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    （2010•福建模拟）已知函数f（x）=（ax2+bx+c）ex在x=1处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点处切线的斜率为-1．
    （Ⅰ）求f（x）的解析式；
    （Ⅱ）设函数g（x）的定义域D，若存在区间[m，n]⊆D，使得g（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]，则称区间[m，n]为函数g（x）的“保值区间”．
    （ⅰ）证明：当x＞1时，函数f（x）不存在“保值区间”；
    （ⅱ）函数f（x）是否存在“保值区间”？若存在，写出一个“保值区间”（不必证明）；若不存在，说明理由．
    分析：（Ⅰ）由函数f（x）=（ax2+bx+c）ex，知f′（x）=[ax2+（2a+b）x+（b+c）]ex，由
    f(0)=1
    f′(0)=-1
    f′(0)=0
    ，得
    c=1
    b+c=-1
    3a+2b+c=0
    ，由此能求出f（x）的解析式．
    （Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=（x2-1）ex．
    （i）假设x＞1时，f′（x）存在“保值区间[m，n]”，（n＞m＞1）．由x＞1时，f′（x）=（x2-1）ex＞0，知f（x）在区间（1，+∞）是增函数，由
    f(m)=m
    f(n)=n
    ，把问题转化为（x-1）2ex-x=0有两个大于1的不等实根，由此能推导出当x＞1时，f（x）不存在“保值区间”．
    （ii）f（x）存在“保值区间”，[0，1]是它的一个“保值区间”．
    解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（ax2+bx+c）ex，
    ∴f′（x）=[ax2+（2a+b）x+（b+c）]ex，
    由
    f(0)=1
    f′(0)=-1
    f′(0)=0
    ，
    即
    c=1
    b+c=-1
    3a+2b+c=0
    ，
    解得
    a=1
    b=-2
    c=1
    ．
    经检验，f（x）=（x2-2x+1）ex满足题意．
    （Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=（x2-1）ex．
    （i）假设x＞1时，f′（x）存在“保值区间[m，n]”，（n＞m＞1）．
    ∵x＞1时，f′（x）=（x2-1）ex＞0，
    ∴f（x）在区间（1，+∞）是增函数，
    依题意，
    f(m)=m
    f(n)=n
    ，
    即
    (m-1)2em＞m
    (n-1)2en=n
    ，
    于是问题转化为（x-1）2ex-x=0有两个大于1的不等实根，
    现在考察函数h（x）=（x-1）2ex-x（x≥1），
    h′（x）=（x2-1）ex-1．
    令∅（x）=（x2-1）ex-1，
    则∅′（x）=（x2+2x-1）ex，
    ∴当x＞1时，∅′（x）＞0，
    ∴∅（x）在（1，+∞）是增函数，
    即h′（x）在（1，+∞）是增函数．
    ∵h′（1）=-1＜0，h′（2）=3e2-1＞0．
    ∴存在唯一x0∈（1，2），使得h′（x0）=0，
    当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：
     x  （1，x0）  x0  （x0，+∞）
     h′（x） -  0 +
     h（x） ↓  极小值 ↑
    ∴h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．
    于是，h（x0）＜h（1）=-1＜0，
    ∵h（2）=e2-2＞0，
    ∴当x＞1时，h（x）的图象与x轴只有一个交点，
    即方程（x-1）2e2-x=0有且只有一个大于1的根，与假设矛盾．
    故当x＞1时，f（x）不存在“保值区间”．
    （ii）f（x）存在“保值区间”，[0，1]是它的一个“保值区间”．
    点评：本题考查利用导数求闭区间上的函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•福建模拟）考察等式：
    C
    0
    m
    C
    r
    n-m
    +
    C
    1
    m
    C
    r-1
    n-m
    +…+
    C
    r
    m
    C
    0
    n-m
    =
    C
    r
    n
    （*），其中n、m、r∈N*，r≤m＜n且r≤n-m．某同学用概率论方法证明等式（*）如下：
    设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余为正品．现从中随机取出r件产品，
    记事件Ak={取到的r件产品中恰有k件次品}，则P(Ak)=
    C
    k
    m
    C
    r-k
    n-m
    C
    r
    n
    ，k=0，1，2，…，r．
    显然A0，A1，…，Ar为互斥事件，且A0∪A1∪…∪Ar=Ω（必然事件），
    因此1=P（Ω）=P（A0）+P（A1）+…P（Ar）=
    C
    0
    m
    C
    r
    n-m
    +
    C
    1
    m
    C
    r-1
    n-m
    +…+
    C
    r
    m
    C
    0
    n-m
    C
    r
    n
    ，
    所以
    C
    0
    m
    C
    r
    n-m
    +
    C
    1
    m
    C
    r-1
    n-m
    +…+
    C
    r
    m
    C
    0
    n-m
    =
    C
    r
    n
    ，即等式（*）成立．
    对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断：
    ①等式（*）成立  ②等式（*）不成立  ③证明正确  ④证明不正确
    试写出所有正确判断的序号
    ①③
    ①③
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•福建模拟）选修4-4：坐标系与参数方程
    在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，沿x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，直线l的参数方程是
    x=-3+
    		3
    2
    t
    y=
    1
    2
    t
    （t为参数），M、N分别为曲线C、直线l上的动点，求|MN|的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•福建模拟）某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K和D两个动作．比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩．假设每个运动员完成每个系列的两个动作的得分是相互独立的．根据赛前训练的统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列动作的情况如下表：
    表1：甲系列
    动作 K动作 D动作
    得分 100 80 40 1-
    概率
    3
    4
    1
    4
    3
    4
    1
    4
    表2：乙系列
    动作 K动作 D动作
    得分 90 50 20 0
    概率
    9
    10
    1
    10
    9
    10
    1
    10
    现该运动员最后一个出场，之前其他运动员的最高得分为115分
    （Ⅰ）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列？说明理由，并求其获得第一名的概率；
    （Ⅱ）若该运动员选择乙系列，求其成绩ξ的分布列及其数学期望Eξ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•福建模拟）今有甲、乙、丙、丁四人通过“拔河”进行“体力”较量．当甲、乙两人为一方，丙、丁两人为另一方时，双方势均力敌；当甲与丙对调以后，甲、丁一方轻而易举地战胜了乙、丙一方；而乙凭其一人之力便战胜了甲、丙两人的组合．那么，甲、乙、丙、丁四人的“体力”由强到弱的顺序是（　　）

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