Question

已知直线（1+4k）x-（2-3k）y+（2+8k）=0（k∈R）所经过的定点F，直线l：x=-4与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．
（1）求点F和圆C的方程；
（2）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（3）在平面上是否存在一点P，使得

GF

GP

=

1

2

？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直线方程分离参数，建立方程，可求F的坐标；利用左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，确定圆心坐标，又圆C恰好经过坐标原点O，可求圆的半径，从而可求圆C的方程；
（2）求出G的坐标，进而求出FG的方程，利用点到直线的距离公式求出C（-4，0）到FG的距离，再利用勾股定理即可求出弦长的一半，进而可求解；
（3）假设存在P（s，t），G（x₀，y₀），利用两点间的距离公式化简，结合G在圆C上，即可求得结论．

解答：解：（1）将直线方程变形为：k（4x+3y+8）+（x-2y+2）=0，
令4x+3y+8=0，x-2y+2=0，解得x=-2，y=0，∴F（-2，0）
∵直线l：x=-4与x轴的交点是圆C的圆心，∴C（-4，0）
∵圆C恰好经过坐标原点O，∴r=4
∴圆C的方程为（x+4）²+y²=16；
（2）由题意G的横坐标为-3，则y=±

15

，∴直线FG的方程为y=±

15

（x+2）
∴圆心到直线的距离为d=

15

2

，∴直线FG被圆C所截得的弦长为2

16- 15 4

=7；
（3）设P（s，t），G（x₀，y₀），则由

GF

GP

=

1

2

，得

(x0+6)2+y02

(x0-s)2+(y0-t)2

=

1

2

整理得3（x₀²+y₀²）+（48+2s）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0．①
又G（x₀，y₀）在圆C：（x+4）²+y²=16上，所以x₀²+y₀²+8x₀=0   ②
②代入①，得（2s+24）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0．
又由G（x₀，y₀）为圆C上任意一点可知，

2s+24=0 2t=0 144-s2-t2=0

解得：s=-12，t=0．
所以在平面上存在一定点P，其坐标为（-12，0）．

点评：本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查弦长公式，考查恒成立问题，解题的关键是假设存在，建立等式，利用恒成立的条件．