Question

（任选一题）
①在数列{a_n}中，已知a1=1，an+1=

an

1+2an

(n∈N+)．
（1）求a₂，a₃，a₄，并由此猜想数列{a_n}的通项公式a_n的表达式；
（2）用适当的方法证明你的猜想．
②是否存在常数a、b、c使得等式1•22+2•32+…+n(n+1)2=

n(n+1)

12

(an2+bn+c)对一切正整数n都成立？
并证明你的结论．

Answer 1

分析：①（1）由a1=1，an+1=

an

1+2an

(n∈N+)，分别令n=1，2，3，能分别求出a₂，a₃，a₄，并由此能猜想出数列{a_n}的通项公式a_n的表达式．
（2）用数学归纳法证明能够a_n=

1

2n-1

．
②先假设存在符合题意的常数a，b，c，再令n=1，n=2，n=3构造三个方程求出a，b，c，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，即1•2²+2•3²++k（k+1）²=

k(k+1)

12

（3k²+11k+10），再递推到n=k+1时，成立即可．

解答：解：①（1）∵a1=1，an+1=

an

1+2an

(n∈N+)，
∴a2=

1

1+2×1

=

1

3

，
a3=

1 3

1+2× 1 3

=

1

5

，
a4=

1 5

1+2× 1 5

=

1

7

．
∴猜想数列{a_n}的通项公式a_n=

1

2n-1

．
（2）用数学归纳法证明a_n=

1

2n-1

．
当n=1时，a1=

1

2×1-1

=

1

2

，成立．
假设当n=k时，a_n=

1

2n-1

成立，即ak=

1

2k-1

．
则当n=k+1时，a_k+1=

ak

1+2ak

=

1 2k-1

1+2× 1 2k-1

=

1

2k-1+2

=

1

2k+1

=

1

2(k+1)-1

，也成立．
故a_n=

1

2n-1

．
②证明：假设存在符合题意的常数a，b，c，
在等式1•2²+2•3²++n（n+1）²
=

n(n+1)

12

（an²+bn+c）中，
令n=1，得4=

1

6

（a+b+c）①
令n=2，得22=

1

2

（4a+2b+c）②
令n=3，得70=9a+3b+c③
由①②③解得a=3，b=11，c=10，
于是，对于n=1，2，3都有
1•2²+2•3²++n（n+1）²=

n(n+1)

12

（3n²+11n+10）（*）成立．
下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．
（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．
（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，
即1•2²+2•3²++k（k+1）²
=

k(k+1)

12

•（3k²+11k+10），
那么当n=k+1时，
1•2²+2•3²++k（k+1）²+（k+1）（k+2）²
=

k(k+1)

12

（3k²+11k+10）+（k+1）（k+2）²
=

(k+1)(k+2)

12

（3k²+5k+12k+24）
=

(k+1)(k+2)

12

[3（k+1）²+11（k+1）+10]，
由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．
综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．

点评：第①题主要考查递推公式的应用，第②题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件．数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．