Question

设n为正整数，规定：fn(x)=

f{f[…f(x)…]}

n个f

，已知f(x)=

2(1-x) (0≤x≤1) x-1 (1＜x≤2)

．
（1）解不等式：f（x）≤x；
（2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f₃（x）=x；
（3）求f2008(

8

9

)的值．

Answer 1

分析：（1）因为是分段函数，所以先根据定义域选择解析式来构造不等式，
当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x求解；
当1＜x≤2时，由x-1≤x求解，取后两个结果取并集．

（2）先求得f（0），f（1），f（2），
再分别求得f（f（0）），f（f（f（0）））；f（f（1）），f（f（f（1）））；
f（f（2））．再观察与自变量是否相等即可．
（3）看问题有2008重求值，一定用到周期性，所以先求出f1(

8

9

)=2(1-

8

9

)=

2

9

，f2(

8

9

)=f(f(

8

9

))=f(

2

9

)=

14

9

，f3(

8

9

)=f(f2(

8

9

))=f(

14

9

)=

14

9

-1=

5

9

，f4(

8

9

)=f(f3(

8

9

))=f(

5

9

)=2(1-

5

9

)=

8

9

，观察是以4为周期，有f4k+r(

8

9

)=fr(

8

9

)（k，r∈N）求解．．

解答：解：（1）①当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x得，x≥

2

3

．
∴

2

3

≤x≤1．
②当1＜x≤2时，因x-1≤x恒成立．
∴1＜x≤2．
由①，②得，f（x）≤x的解集为{x|

2

3

≤x≤2}．

（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
∴当x=0时，f₃（0）=f（f（f（0）））=f（-f（2））=f（1）=0；
当x=1时，f₃（1）=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1；
当x=2时，f₃（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．
即对任意x∈A，恒有f₃（x）=x．

（3）f1(

8

9

)=2(1-

8

9

)=

2

9

，
f2(

8

9

)=f(f(

8

9

))=f(

2

9

)=

14

9

，
f3(

8

9

)=f(f2(

8

9

))=f(

14

9

)=

14

9

-1=

5

9

，
f4(

8

9

)=f(f3(

8

9

))=f(

5

9

)=2(1-

5

9

)=

8

9

，
一般地，f4k+r(

8

9

)=fr(

8

9

)（k，r∈N）．
∴f2008(

8

9

)=f0(

8

9

)=

8

9

点评：本题主要考查求解分段函数构造的不等式，要注意分类讨论，还考查了分段函数多重求值，要注意从内到外，根据自变量取值选择好解析式．