如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中.E.F分别为D1C1.B1C1的中点.AC∩BD=P.A1C1∩EF=Q.求证: (1)D.B.F.E四点共面,(2)若A1C交平面DBEF于R点.则P.Q.R三点共线. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图,已知正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为D₁C₁、B₁C₁的中点，AC∩BD=P，A₁C₁∩EF=Q.求证：

（1）D、B、F、E四点共面；

（2）若A₁C交平面DBEF于R点，则P、Q、R三点共线.

证明：（1）∵EF是△D₁B₁C₁的中位线，∴EF∥B₁D₁.?

在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，B₁D₁BD,∴EF∥BD.?

?∴EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面.?

（2）正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，设A₁ACC₁确定的平面为α，又设平面BDEF为β，∵Q∈A₁C₁,∴Q∈α.?

又Q∈EF,∴Q∈β.?

则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α和β的公共点，∴α∩β=PQ.?

又A₁C∩β=R，∴R∈A₁C.?

∴R∈α且R∈β.则R∈PQ.?

故P、Q、R三点共线.

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8、如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，点E，F在线段AB上，点M在线段B₁C₁上，点N在线段C₁D₁上，且EF=1，D₁N=x，AE=y，M是B₁C₁的中点，则四面体MNEF的体积（　　）

A、与x有关，与y无关

B、与x无关，与y无关

C、与x无关，与y有关

D、与x有关，与y有关

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如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E为棱AB的中点．
求：
（1）D₁E与平面BC₁D所成角的正弦值；
（2）二面角D-BC₁-C的余弦值．

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如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F分别是D₁C、AB的中点．
（I）求证：EF∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求二面角D-EF-A的余弦值．

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如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点P，Q，R分别是棱AB，CC₁，D₁A₁的中点．
（1）求证：B₁D⊥平面PQR；
（2）设二面角B₁-PR-Q的大小为θ，求|cosθ|．

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（2012•宝山区一模）如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E，F分别是BB₁，CD的中点．
（1）求三棱锥E-AA₁F的体积；
（2）求异面直线EF与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

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