Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-3x+（a-1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x，其中a∈R且a＞1．
（I）求函数f（x）的导函数f′（x）的最小值；
（II）当a=3时，求函数h（x0的单调区间及极值；
（III）若对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，函数h（x）满足

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞-1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求出函数的导函数，利用基本不等式求出函数的最小值，验证等号何时取得．
（II）将a的代入h（x），求出导函数，列出x，h′（x），h（x）的变化如下表，求出极值．
（III）构造新函数令F(x)=h(x)+x=h(x)=

1

2

x2+(a-1)lnx-ax+x，通过函数F（x）在（0，+∞）单调递增令导函数大于0恒成立，根据二次函数的图象，只需判别式小于等于0，求出a的范围．

解答：解：（I）f′(x)=x-3+

a-1

x

=x+

a-1

x

-3，其中x＞0．
因为a＞1，所以a-1＞0，又x＞0，所以x+

a-1

x

-3≥2

a-1

-3，
当且仅当x=

a-1

时取等号，其最小值为2

a-1

-3．…（4分）
（II）当a=3时，h(x)=

1

2

x2+2lnx-3x，h′(x)=x+

2

x

-3=

(x-1)(x-2)

x

．…..（6分）
x，h′（x），h（x）的变化如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	递增	- 5 2	递减	2ln2-4	递增

所以，函数h（x）的单调增区间是（0，1），（2，+∞）；单调减区间是（1，2）．
…．（8分）
函h（x）在x=1处取得极大值-

5

2

，在x=2处取得极小2ln2-4．
…．（10分）
（III）由题意h(x)=

1

2

x2+(a-1)lnx-ax(a＞0)．
不妨设x₁＜x₂，则

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞-1得h（x₁）+x₁＜h（x₂）+x₂．…（12分）
令F(x)=h(x)+x=h(x)=

1

2

x2+(a-1)lnx-ax+x，则函数F（x）在（0，+∞）单调递增．
F′(x)=x-(a-1)+

a-1

x

=

x2-(a-1)x+a-1

x

≥0在（0，+∞）恒成立．
即G（x）=x²-（a-1）x+a-1≥0（在0，+∞）恒成立．
因为G(0)=a-1＞0，

a-1

2

＞0，因此，只需△=（a-1）²-4（a-1）≤0．
解得1＜a≤5．
故所求实数a的取值范围1＜a≤5．…．（14分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性．利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是．教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．