Question

（2012•绵阳三模）已知函数f（x）=

a

x

+blnx+c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x-y-2=0．
（I）用a表示b，c；
（II）若函数g（x）=x-f（x）在x∈（0，1]上的最大值为2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导函数，利用函数在点（1，f（1））处的切线方程为x-y-2=0，切点（1，a+c）在直线x-y-2=0上，即可用a表示b，c；
（II）求g（x）的导函数，令g′（x）=0，得x=1，或x=a，分类讨论：i）当a≥1时，g（x）在（0，1]上递增，g（x）_max=g（1）=2，符合条件；ii）当0＜a＜1时，g（x）在（0，a）上递增，g（x）在（a，1）上递减，g（x）_max=g（a）＞g（1）=2，与题意矛盾，由此可得实数a的取值范围．

解答：解：（I）求导函数可得f′（x）=-

a

x2

+

b

x

（a＞0），
∵函数在点（1，f（1））处的切线方程为x-y-2=0，
∴f′（1）=1，∴-a+b=1．
∴b=a+1．
又切点（1，a+c）在直线x-y-2=0上，得1-（a+c）-2=0，解得c=-a-1．   …（4分）
（II）g（x）=x-

a

x

-blnx-c=x-

a

x

-（a+1）lnx+a+1，
∴g′（x）=1+

a

x2

-

a+1

x

=

(x-1)(x-a)

x2

，
令g′（x）=0，得x=1，或x=a．…（8分）
i）当a≥1时，由0＜x≤1知，g′（x）≥0，∴g（x）在（0，1]上递增．
∴g（x）_max=g（1）=2．
于是a≥1符合条件． …（10分）
ii）当0＜a＜1时，
∵当0＜x＜a时，g′（x）＞0；a＜x＜1时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，a）上递增，g（x）在（a，1）上递减．
∴g（x）_max=g（a）＞g（1）=2，与题意矛盾．
∴0＜a＜1不符合题意．
综上知，实数a的取值范围为[1，+∞）．…（12分）

点评：本题考查导数的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导，合理分类是关键．