Question

甲乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0.7和0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响．
求：（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率；
（Ⅱ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．

Answer 1

分析：（1）由题意知每次试跳成功与否相互之间没有影响，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，甲第三次试跳才成功表示甲前两次试跳不成功，而第三次试跳成功，根据相互独立事件同时发生的概率，得到结果．
（2）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次包括甲两次成功且乙一次试跳成功，或是甲一次成功且乙没有成功，这两种情况互斥的且两种情况中的两个事件之间是相互独立的，根据公式得到结果．

解答：解：（Ⅰ）由题意知本题是一个相互独立事件，
记“甲第i次试跳成功”为事件A_i，
“乙第i次试跳成功”为事件B_i，
依题意，得P（A_i）=0.7，P（B_i）=0.6，
且A_i，B_i（i=1，2，3）相互独立．
“甲第三次试跳才成功”为事件

.

A1

.

A2

A3，
且三次试跳相互独立．
∴P(

.

A1

.

A2

A3)=P(

.

A1

)P(

.

A2

)P(A3)
=0.3×0.3×0.7=0.063．
（Ⅱ）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件M_i（i=0，1，2），
“乙在两次试跳中成功i次”为事件N_i（i=0，1，2），
∴事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”
可表示为M₁N₀+M₂N₁，且M₁N₀、M₂N₁为互斥事件．
∴P（M₁N₀+M₂N₁）=P（M₁N₀）+P（M₂N₁）
=P（M₁）P（N₀）+P（M₂）P（N₁）
=C₂¹×0.7×0.3×0.4²+0.7²×C₂¹×0.6×0.4
=0.0672+0.2352=0.3024．

点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．