Question

【题目】设函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求的解析式；

（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析.

【解析】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，

当x＝2时，y＝．

又f′(x)＝a＋，

于是，解得

故f(x)＝x－．

(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．

令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－ )．

令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．

所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6．

曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．