Question

已知函数f（x）=e^x，直线l的方程为y=kx+b．
（1）求过函数图象上的任一点P（t，f（t））的切线方程；
（2）若直线l是曲线y=f（x）的切线，求证：f（x）≥kx+b对任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b对任意x∈[0，+∞）成立，求实数k、b应满足的条件．

Answer 1

【答案】分析：（1）对函数求导，得到函数的导函数，即得到了函数在某一点的切线的斜率，用点斜式写出切线的方程．
（2）根据切线的方程，写出斜率和截距，构造新函数，对新函数求导，得到在x∈（-∞，t）上单调递减，在x∈（t，+∞）为单调递增，即得到函数的最小值，根据函数思想得到不等式成立．
（3）构造新函数，对新函数求导，判断函数的单调性，针对于k的不同值，函数的单调性不同，需要进行讨论，求出函数的最小值，得到要写的条件．
解答：解：（1）函数f（x）=e^x，
分析可得f（x）=e^x与直线相切，只有一个交点即切点，
故过函数图象上的任一点P（t，f（t））的切线中P即为切点，
∵f'（x）=e^x，
∴切线l的方程为y-e^t=e^t（x-t）
即y=e^tx+e^t（1-t）
（2）由（1）
记函数F（x）=f（x）-kx-b，
∴F（x）=e^x-e^tx-e^t（1-t）
∴F'（x）=e^x-e^t
∴F（x）在x∈（-∞，t）上单调递减，在x∈（t，+∞）为单调递增
故F（x）_min=F（t）=e^t-e^tt-e^t（1-t）=0
故F（x）=f（x）-kx-b≥0即f（x）≥kx+b对任意x∈R成立
（3）设H（x）=f（x）-kx-b=e^x-kx-b，x∈[0，+∞）
∴H'（x）=e^x-k，x∈[0，+∞）
①当k≤1时，H'（x）≥0，则H（x）在x∈[0，+∞）上单调递增
∴H（x）_min=H（0）=1-b≥0，
∴b≤1，即符合题意
②当k＞1时，H（x）在x∈[0，lnk）上单调递减，x∈[lnk，+∞）上单调递增
∴H（x）_min=H（lnk）=k-klnk-b≥0
∴b≤k（1-lnk）
综上所述满足题意的条件是或
点评：本题考查函数导函数的应用，主要是求最值问题，本题解题的关键是对于不等式成立，只要用函数的最值来整理就使得问题解题的方向非常明确．