Question

设α，β是函数f(x)=

m

3

x3+

n

2

x2-m2x  (m＞0)的两个极值点，且|α|+|β|=2．
（1）求证：0＜m≤1；α＜x＜2
（2）求n的取值范围；
（3）若函数g（x）=f′（x）-2m（x-α），当且α＜0时，求证：|g（x）|≤4m．

Answer 1

分析：（1）求导数f'（x）=mx²+nx-m²根据α、β是f'（x）=0的两个实根，结合根与系数的关系得出α+β=-

n

m

，αβ=-m  (m＞0)从而得到：n²=4m²（1-m），进一步得到0＜m≤1；α＜x＜2．
（2）令h（m）=4m²（1-m）（0＜m≤1）利用导数研究它的单调性，从而得出h（m）最大最小值，从而求得n的取值范围；
（3）由于g（x）=m（x-α）（x-β-2），由|α|+|β|=2得α=β-2＞-2，从而g（x）=m（x-α）（x-α-4）结合基本不等式即可证得|g（x）|≤4m．

解答：解：（1）f'（x）=mx²+nx-m²
∵α、β是f'（x）=0的两个实根
∴α+β=-

n

m

，αβ=-m  (m＞0)（1分）
∴[|α|+|β|]²=α²+β²+2|αβ|=（α+β）²-2αβ+2|αβ|=(-

n

m

)2+2m+2|-m| =

n2+4m3

m2

（3分）
又|α|+|β|=2，∴

n2+4m3

m2

=4，  n2=4m2(1-m)
∴4m²（1-m）≥0（m＞0），∴0＜m≤1（15分）
（2）令h（m）=4m²（1-m）（0＜m≤1）
h'（m）=4m（2-3m）令h′（x）＞0，得0＜m＜

2

3

，
∴h（m）在（0，

2

3

）上是增函数，在（

2

3

，1]上是减函数，∴h（m）最大为h（

2

3

）=

16

27

，
h（m）最小为0，∴0≤n²≤

16

27

，∴-

4 3

9

≤n≤

4 3

9

．
（3）g（x）=m（x-α）（x-β-2），∵αβ=-m，α＜0，∴β＞0，
由|α|+|β|=2得：-α+β=2，∴α=β-2＞-2，
∴g（x）=m（x-α）（x-α-4），∵-2＜α＜x＜2，∴0＜x-α＜4，
|g（x）|=m|x-α||x-α-4|≤m[

|x-α|+|x-α-4|

2

]²=4m，
∴|g（x）|≤4m．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数在某点取得极值的条件、利用导数研究函数的单调性、根与系数的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．