Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠ACB=90°，M为A₁B与AB₁的交点，N为棱B₁C₁的中点．
（1）求证：MN∥平面AA₁C₁C；
（2）若AC=AA₁，求证：MN⊥平面A₁BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接AC₁，△AB₁C₁中可得MN是中位线，MN∥AC₁，根据线面平行的判定定理，即可证出MN∥平面AA₁C₁C；
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中∠ACB=90°，可证出BC⊥平面AA₁C₁C，所以BC⊥AC₁．正方形AA₁C₁C中，AC₁⊥A₁C，可得AC₁⊥平面A₁BC，最后结合MN∥AC₁，可得MN⊥平面A₁BC．
解答：解： （1）连接AC₁，
∵矩形AA₁B₁B中，M为A₁B与AB₁的交点，
∴M是AB₁的中点，
又∵N为棱B₁C₁的中点，
∴△AB₁C₁中，MN是中位线，可得MN∥AC₁，…（4分）
又∵AC₁?平面AA₁C₁C，MN?平面AA₁C₁C，
∴MN∥平面AA₁C₁C．…（6分）
（2）∵矩形A₁C₁CA中，AC=AA₁，
∴四边形AA₁C₁C是正方形，可得AC₁⊥A₁C，
又∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，且BC?平面ABC，
∴CC₁⊥BC．
∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∴结合CC₁∩AC=C，得BC⊥平面AA₁C₁C，
∵AC₁⊆平面AA₁C₁C，∴BC⊥AC₁，…（8分）
∵BC、A₁C是平面A₁BC内的相交直线，
∴AC₁⊥平面A₁BC
又∵MN∥AC₁，∴MN⊥平面A₁BC．…（14分）
点评：本题给出特殊三棱柱，求证线面平行和线面垂直，着重考查了直棱柱的性质、线面平行的判定和线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．