Question

已知抛物线方程为y²=4x，过Q（2，0）作直线l．
①若l与x轴不垂直，交抛物线于A、B两点，是否存在x轴上一定点E（m，0），使得∠AEQ=∠BEQ？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由？
②若L与X轴垂直，抛物线的任一切线与y轴和L分别交于M、N两点，则自点M到以QN为直径的圆的切线长|MT|为定值，试证之．

Answer 1

分析：①对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在x轴上一定点E（m，0），使得∠AEQ=∠BEQ，再利用设l的方程为：y=k（x-2），，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用斜率公式即可求得m值，从而解决问题．
②设P（x₀，y₀）在抛物线上，由抛物线的对称性，不妨设y₀＞0，写出切线方程，求出以QN为直径的圆的圆心坐标，最后计算出以QN为直径的圆的切线长|MT|为定值即可．

解答：解：①设l的方程为：y=k（x-2），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=k(x-2) y2=4x

消去

k

4

y2-y-2k=0得：

k

4

y2-y-2k=0，y1+y2=

4

k

，y₁y₂=-8（2分）
若∠AEQ=∠BEQ，则k_AE+k_BC=0（3分）
即：

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0?y1(x2-m)+y2(x1-m)=0（4分）?y₁x₂+y₂x₁-m（y₁+y₂）=0?y1•

y22

4

+y2•

y12

4

-m(y1+y2)=0?-2（y₁+y₂）-m（y₁+y₂）=0?m=-2（6分）
故存在m=-2，使得∠AEQ=∠BEQ（7分）
②设P（x₀，y₀）在抛物线上，由抛物线的对称性，不妨设y₀＞0，则过P点的切线斜率k=(2

x

)′|x=x0=

1

x0

，切线方程为：y-y0=

1

x0

(x-x0)，且y0=2

x0

（9分）
令x=0?y=y0-

x0

=

x0

，∴M(0，  

x0

)
令x=2?y=y0+

2

x0

-

x0

=

x0

+

2

x0

，∴N(2，  

x0

+

2

x0

)（10分）
则以QN为直径的圆的圆心坐标为O′(2，  

x0

2

+

1

x0

)，半径r=

x0

2

+

1

x0

（11分）
∴|MT|2=|MO′|2-r2=22+(

x0

2

+

1

x0

-

x0

)2-(

x0

2

+

1

x0

)2=22+(

1

x0

-

x0

2

)2-(

1

x0

+

x0

2

)2=4-1-1=2
∴|MT|=

2

（13分）

点评：本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．注意①的处理存在性问题的一般方法，首先假设存在，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．