精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
下列命题:
①若
a
b
共线,则存在唯一的实数λ,使
b
a

②空间中,向量
a
b
c
共面,则它们所在直线也共面;
③P是△ABC所在平面外一点,O是点P在平面ABC上的射影.若PA、PB、PC两两垂直,则O是△ABC垂心.
④若A,B,C三点不共线,O是平面ABC外一点.
OM
=
1
3
OA
+
1
3
OB
+
1
3
OC
,则点M一定在平面ABC上,且在△ABC内部.
上述命题中正确的命题是
③④
③④
分析:应用平行向量与共线向量,向量的共线定理等知识点,根据向量共线的定义和性质对①②④命题逐一进行判断,对于③,利用线面垂直的判定和性质定理进行证明,即可得到答案.
解答:解:①中的
a
0
这一条件缺少,于是①错.
对于②,因为向量可以任意平移,可知②错;
③当PA,PB,PC两两互相垂直时,则PA⊥平面PBC,则PA⊥BC,
又由PO⊥底面ABC,则PO⊥BC,进而BC⊥平面PAO,即AO⊥BC,
同理可证BO⊥AC,CO⊥AB,故O是△ABC的垂心,即③对;
④中A、B、C、M四点共面.
等式
OM
=
1
3
OA
+
1
3
OB
+
1
3
OC
两边同加
MO

1
3
MO
+
OA
)+
1
3
MO
+
OB
)+
1
3
MO
+
OC
)=
0

MA
+
MB
+
MC
=
0
MA
=-(
MB
+
MC
)则
MA
MB
MC
共面,
又M是三个有向线段的公共点,
则点M一定在平面ABC上,且在△ABC内部.
故④是真命题.
故答案为:③④
点评:本题考查命题的真假判断与应用.在解答向量问题时,向量共线(平行)是最常见的情况之一,我们一定要注意向量平行分为三种情况:①两个非零向量同向;②两个非零向量反向;③零向量与任何一个向量都共线(平行).其中第③种情况,最容易被忽视.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

下列命题中:
①若a与b互为相反向量,则a+b=0;
②若k为实数,且k•a=0,则a=0或k=0;
③若a•b=0,则a=0或b=0;
④若a与b为平行的向量,则a•b=|a||b|;
⑤若|a|=1,则a=±1.
其中假命题的个数为(  )
A、5个B、4个C、3个D、2个

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

下列命题中:①若a与b互为相反向量,则a+b=0;②若k为实数,且k•a=0,则a=0或k=0;③若a•b=0,则a=0或b=0;④若a与b为平行的向量,则a•b=|a||b|;⑤若|a|=1,则a=±1.其中假命题的个数为
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:《第2章 平面向量》2013年单元测试卷(3)(解析版) 题型:选择题

下列命题中:
①若a与b互为相反向量,则a+b=0;
②若k为实数,且k•a=0,则a=0或k=0;
③若a•b=0,则a=0或b=0;
④若a与b为平行的向量,则a•b=|a||b|;
⑤若|a|=1,则a=±1.
其中假命题的个数为( )
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010-2011学年北京市铁路二中高一(下)入学数学试卷(必修1+必修4)(解析版) 题型:选择题

下列命题中:
①若a与b互为相反向量,则a+b=0;
②若k为实数,且k•a=0,则a=0或k=0;
③若a•b=0,则a=0或b=0;
④若a与b为平行的向量,则a•b=|a||b|;
⑤若|a|=1,则a=±1.
其中假命题的个数为( )
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2009-2010学年数学暑假作业08(必修4)(解析版) 题型:填空题

下列命题中:①若a与b互为相反向量,则a+b=0;②若k为实数,且k•a=0,则a=0或k=0;③若a•b=0,则a=0或b=0;④若a与b为平行的向量,则a•b=|a||b|;⑤若|a|=1,则a=±1.其中假命题的个数为   

查看答案和解析>>

同步练习册答案