Question

10．已知数列{a_n}满足a₁=3，且a_n=a_n-1+n+2ⁿ（n∈N^*），则{a_n}的前n项的和为$\frac{1}{6}n（n+1）（n+2）+{2}^{n+2}-2（n+2）$．

Answer 1

分析 先求出a_n，再利用累加求Tn．

解答 解：由a_n=a_n-1+n+2ⁿ（n∈N^*），
${a}_{2}-{a}_{1}=2+{2}^{2}$
${a}_{3}-{a}_{2}=3+{2}^{3}$
${a}_{4}-{a}_{3}=4+{2}^{4}$
…
${a}_{n}-{a}_{n-1}=n+{2}^{n}$，
累加求得${a}_{n}=\frac{（1+n）n}{2}+{2}^{n+1}-2$；
前n项和为T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，
=$\frac{1}{12}n（n+1）（2n+1）+\frac{1}{4}n（n+1）+{2}^{n+2}-2n-4$
=$\frac{1}{6}n（n+1）（n+2）+{2}^{n+2}-2（n+2）$，
故答案为：$\frac{1}{6}n（n+1）（n+2）+{2}^{n+2}-2（n+2）$

点评 本题主要考察用累加发求数列a_n的通项和前n项和公式，但过程计较繁琐，属于中档题．