Question

13．已知1≤lg（xy）≤4，-1$≤lg\frac{x}{y}$≤2，则lg$\frac{{x}^{2}}{y}$的取值范围是[-1，5]．

Answer 1

分析 由1≤lg（xy）≤4，-1$≤lg\frac{x}{y}$≤2，可得：1≤lgx+lgy≤4，-1≤lgx-lgy≤2，而lg$\frac{{x}^{2}}{y}$=2lgx-lgy，设2lgx-lgy=m（lgx+lgy）+n（lgx-lgy），利用“待定系数法”即可得出．

解答 解：由1≤lg（xy）≤4，-1$≤lg\frac{x}{y}$≤2，可得：1≤lgx+lgy≤4，-1≤lgx-lgy≤2，
而lg$\frac{{x}^{2}}{y}$=2lgx-lgy
设2lgx-lgy=m（lgx+lgy）+n（lgx-lgy），
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2}\\{m-n=-1}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{1}{2}$，n=$\frac{3}{2}$．
∴lg$\frac{{x}^{2}}{y}$=2lgx-lgy=$\frac{1}{2}$（lgx+lgy）+$\frac{3}{2}$（lgx-lgy），
∴-1≤$lg\frac{{x}^{2}}{y}$≤5，
故答案为：[-1，5]．

点评 本题考查了不等式的性质、对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．