分析:(1)由方程x=f(x)有唯一解,则ax
2+(2a-1)x=0有唯一解,知
a=,由此能求出f(x)的表达式;
(2)由f(x
n)=x
n+1,知
-= (n∈N*),由 等差数列的定义可求出数列{x
n}的通项公式;
(3)由
bn==(2n+1)2+(2n-1)2 |
2(2n+1)(2n-1) |
==1+=1+-b
1+b
2+…+b
n-n<1,由此能证明b
1+b
2+…+b
n<n+1.
解答:解:(1)由
=x,可化简为ax(x+2)=x∴ax
2+(2a-1)x=0
∴当且仅当
a=时,方程x=f(x)有唯一解.
从而
f(x)=(2)由已知f(x
n)=x
n+1(n∈N
*),得
=xn+1∴
=+,即
-= (n∈N*)∴数列
{}是以
为首项,
为公差的等差数列.
=+(n-1)×=,∴
xn=∵
f(x1)=,
∴
=,即
x1=∴
xn==故
x2011==(3)证明:∵
xn=,
∴
an=4×-4023=2n-1∴
bn==(2n+1)2+(2n-1)2 |
2(2n+1)(2n-1) |
==1+=1+-∴
b1+b2+bn-n=(1+1-)+(1+-)++(1+-)-n=1-<1故b
1+b
2+…+b
n<n+1.
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要注意通项公式的求法和裂项公式的合理运用,属于中档题.