Question

（2005•朝阳区一模）有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（　　）

• A．(

  2

  +

  6

  )a
• B．

  2 + 6

  2

  a
• C．(1+

  3

  )a
• D．

  1+ 3

  2

  a

Answer 1

分析：将四棱锥的四个侧面沿底面展开，观察展开图的形状形可得包装纸的对角线处在如图所示的P'P位置时，包装纸面积最小，由此结合正三角形和正方形的性质加以计算，即可获得问题的解答．

解答：解：由题意，得
将正四棱锥沿底面将侧面都展开，得到如右图所示的平面展开图
可得当以P'P为正方形的对角线时所需正方形的包装纸的面积最小，
相应地，此时包装纸的边长也最小．
设包装纸正方形的边长为x，可得P'P²=2x²，
又∵P'P=a+2×

3 a

2

，∴P'P²=（a+

3

a）²=2x²，
解之得：x=

2 + 6

2

a
故选：B

点评：本题给出正方形纸片将正四棱锥完全包住，求包装纸的最小边长考．着重考查了四棱锥的侧面展开图、正方形和正三角形的性质等知识，属于中档题．同时考查了图形的观察和分析能力、空间想象能力和空间问题平面化的思想，是一道值得同学们体会反思的好题．