Question

设m∈R，

a

=(cosx，sinx)，

b

=(msinx，2cos(

π

2

-x))，f(x)=

a

•(

b

-

a

)且f（-

π

3

）=f（0），
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c且

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

c

2a-c

，求f（x）在（0，B]上的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积运算，结合f（-

π

3

）=f（0），即可求m的值；
（Ⅱ）利用余弦定理，正弦定理确定B的值，化简函数，即可求f（x）在（0，B]上的值域．

解答：解：（Ⅰ）

a

=(cosx，sinx)，

b

=(msinx，2cos(

π

2

-x))，f(x)=

a

•(

b

-

a

)
∴f（x）=msinxcosx-cos²x+sin²x=

m

2

sin2x-cos2x
∵f（-

π

3

）=f（0），
∴

m

2

×（-

3

2

）+

1

2

=-1
∴m=2

3

；
（Ⅱ）∵

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

c

2a-c

，
∴

2accosB

2abcosC

=

c

2a-c

∴2acosB-ccosB=bcosC
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA
∴cosB=

1

2

∵B∈（0，π），∴B=

π

3

∴x∈（0，B]时，2x-

π

6

∈（-

π

6

，

π

2

]
∵f（x）=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

）
∴f（x）∈（-1，2]
∴f（x）在（0，B]上的值域为（-1，2]．

点评：本题考查向量知识的运用，考查正弦、余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．