Question

我们用部分自然数构造如下的数表：用a_ij(i≤j)表示第i行第j个数(i、j为正整数)，使a_ij＝a_ii＝i；每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和(第一、二行除外，如图)，设第n(n为正整数)行中各数之和为B．

(Ⅰ)试写出b₂－2b₁，b₃－2b₂，b₄－2b₃，b₅－2b₄，并推测b_n+1和b_n的关系(无需证明)；

(Ⅱ)证明数列{b_n＋2}是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式b_n；

(Ⅲ)数列{b_n}中是否存在不同的三项b_p，b_q，b_r(p，q，r为正整数)恰好成等差数列？若存在求出p，q，r的关系；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)； 　　可见：；；；，2分 　　猜测：(或或)　4分 　　(2)由(1)，6分 　　所以是以为首项，2为公比的等比数列， 　　∴，即 　　(注：若考虑，且不讨论，扣1分)　8分 　　(3)若数列中存在不同的三项恰好成等差数列， 　　不妨设，显然，是递增数列，则　9分 　　即，于是　11分 　　由且知，， 　　∴等式的左边为偶数，右边为奇数，不成立， 　　故数列{bn}中不存在不同的三项恰好成等差数列．13分