Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点．
（1）求证：BM∥平面PAD；
（2）在侧面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD；
（3）求直线PC与平面PBD所成角的正弦．

Answer 1

分析：（1）取PD的中点E，连接EM，EA，证明四边形ABME为平行四边形，可得BM∥AE，利用线面平行的判定，可证BM∥平面PAD；
（2）以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用

MN

•

PB

=0，

MN

•

DB

=0，即可确定N的坐标；
（3）设直线PC与平面PBD所成的角为θ，则

PC

=(2，2，-2)，

MN

=(-1，-

1

2

，-

1

2

)，利用向量的夹角公式，可求直线PC与平面PBD所成角的正弦值•

解答：（1）证明：取PD的中点E，连接EM，EA，则EM∥AB，且EM=AB
所以四边形ABME为平行四边形，所以BM∥AE
又AE?平面PAD，BM不在平面PAD内，∴BM∥平面PAD；
（2）解：以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系

则B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（1，1，1），E（0，1，1）
假设存在满足题意的点，则在平面PAD内，设N（0，y，z）
∴

MN

=(-1，y-1，z-1)，

PB

=(1，0，-2)，

DB

=(1，-2，0) 
由

MN

•

PB

=0，

MN

•

DB

=0，可得

-1-2z+2=0 -1-2y+2=0

，∴

y= 1 2 z= 1 2

∴N（0，

1

2

，

1

2

），∴N是AE的中点，此时MN⊥平面PBD；
（3）解：设直线PC与平面PBD所成的角为θ，则

PC

=(2，2，-2)，

MN

=(-1，-

1

2

，-

1

2

)，
设＜

PC

，

MN

＞为α，则cos＜

PC

，

MN

＞=

PC • MN

| PC || MN |

=

-2

2 3 × 6 2

=-

2

3

∴sinθ=-cosα=

2

3

故直线PC与平面PBD所成角的正弦值为

2

3

•

点评：本题考查线面平行，考查线面垂直，考查线面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，正确确定向量坐标是关键．