Question

（2013•淄博二模）等比数列{c_n}满足cn+1+cn=10•4n-1(n∈N*)，数列{an}的前n项和为S_n，且a_n=log₂c_n．
（I）求a_n，S_n；
（II）数列{bn}满足bn=

1

4Sn-1

，Tn为数列{bn}的前n项和，是否存在正整数m，k（1＜m＜k），使得T₁，T_m，T_k成等比数列？若存在，求出所有m，k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知令n=1，n=2可求，c₁+c₂，c₂+c₃，从而可求公比q，及c₁，结合等比数列的通项公式可求c_n，进而可求a_n，结合等差数列的求和公式可求s_n
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项可求T_n，然后结合等比数列的性质可求满足条件的m，k

解答：解：（Ⅰ）由已知令n=1，n=2可得，c₁+c₂=10，c₂+c₃=40，所以公比q=4…（2分）
∴c₁+c₂=c₁+4c₁=10得c₁=2
∴cn=2•4n-1=22n-1…（4分）
所以an=log222n-1=2n-1…（5分）
由等差数列的求和公式可得，Sn=

n(a 1+an)

2

=

n[1+(2n-1)]

2

=n2…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
于是Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

…（9分）
假设存在正整数m，k（1＜m＜k），使得T₁，T_m，T_k成等比数列，则(

m

2m+1

)2=

1

3

×

k

2k+1

，
可得

3

k

=

-2m2+4m+1

m2

＞0，所以-2m²+4m+1＞0
从而有，1-

6

2

＜m＜1+

6

2

，
由m∈N^*，m＞1，得m=2…（11分）
此时k=12．
当且仅当m=2，k=12时，T₁，T_m，T_k成等比数列．…（12分）

点评：本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的通项公式的简单应用，数列的裂项求和方法的应用．