Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是正方形BCC₁B₁的中心，求证：
（1）BC₁⊥DO；
（2）A₁C⊥平面AB₁D₁．

Answer 1

分析：（1）直接利用正方体的性质证明BC₁垂直于DO所在的平面B₁CD即可；
（2）由线面垂直的判定证明线面垂直，从而得到线线垂直，再由线面垂直的判定定理得答案．

解答：证明：如图，

（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，∴BC₁⊥B₁C，DC⊥面BCC₁，∴DC⊥BC₁，
又DC∩B₁C=C，∴BC₁⊥平面B₁CD，又DO?面B₁CD，∴BC₁⊥DO；
（2）连结A₁B，则A₁B⊥AB₁，又BC⊥面ABB₁，∴BC⊥AB₁，
∴AB₁⊥面A₁B₁C，∴A₁C⊥AB₁，
同理A₁C⊥AD₁，又AB₁∩AD₁=A．∴A₁C⊥平面AB₁D₁．

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力，是中低档题．