Question

已知函数f（x）的定义域为?[-1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数 y?=f′（x）的图象如图所示，给出关于f（x）的下列命题：

x	-1	0	4	5
f（x）	1	2	2	1

①函数y=f（x）在x=2时，取极小值 
②函数f（x）在[0，1]是减函数，在[1，2]是增函数，
③当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点
④如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为5，
其中所有正确命题序号为

①④

．

Answer 1

分析：先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对五个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案．

解答：解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图：

由图得：①由图象可知f′（2）=0，f（x）在x=2处取得极小值，故①正确；
②因为在[0，2]上导函数为负，故原函数递减，故②错误；
③当a离1非常接近时，对于上图，y=f（x）-a的零点，就是y与f（x）=a的交点个数，如图有2个零点，也可以是3个零点，故③错误．
④当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，如图可知
当t=5时，也满足x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，故④正确；
综上得：真命题只有①④．
故答案为：①④；

点评：本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．