Question

给出下列命题：
①若{

a

，

b，

c

}是空间的一个基底，则

a+b

，

a-b

，

c

也是空间的一个基底；
②若

a

，

b

所在直线是异面直线，则

a

，

b

一定不共面；
③对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若

OP

=

OA

+

OB

-

OC

，则P，A，B，C四点共面；
④已知

a

，

b

都不是零向量，则

a

∥

b

的充要条件是

a

•

b

=|

a

|•|

b

|．
其中正确命题的序号是

①③

．

Answer 1

分析：该题的四个命题均是考查向量的概念与向量的运算，①考查基地的概念；②考查共面向量的概念，③考查了空间四点共面的条件，④考查了平行向量与向量，在熟悉向量有关概念的前提下，逐一核对给出的四个命题即可得到正确答案．

解答：解：对于①，若{

a

，

b，

c

}是空间的一个基底，则三向量不共面，而向量

a

+

b

，

a

-

b

均与向量

a

，

b

共面，所以

c

与向量

a

+

b

，

a

-

b

不共面，则

a

+

b

，

a

-

b

，

c

也是空间的一个基底．故①正确；
对于②，因为空间任意两个向量

a

，

b

都是共面向量，所以②不正确；
对于③，对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若

OP

=

OA

+

OB

-

OC

，
满足

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（x+y+z=1），则P，A，B，C四点共面．所以③正确；
对于④，

a

，

b

都不是零向量，若两向量异向共线，则

a

•

b

=|

a

|•|

b

|不成立．故④不正确．
所以正确的命题的序号是①③．
故答案为①③．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了平面向量与空间向量，是基础的概念题．